Kedves Dr.Feelgood,

Liouville azt bizonyitotta, hogy ha egy x szamhoz minden A>0 eseten vegtelen sok p/q tort talalhato ugy, hogy |x-p/q|<q^-A, akkor x transzcendens. Egesz pontosan, ha a fenti tulajdonsagu A-k szupremumat az x irracionalitasi mertekenek nevezzuk, akkor Liouville tetele szerint egy n-edfoku algebrai szam irracionalitasi merteke legfeljebb n.

Sajnos a fenti modon sem az e-rol, sem a pi-rol nem igazolhato, hogy o transzcendens lenne. Az e irracionalitasi merteke a leheto legkisebb, amivel egy irracionalis szam rendelkezhet, nevezetesen 2. A pi irracionalitasi merteket pontosan nem ismerjuk, de tudjuk, hogy veges (Mahler 1953), a jelenlegi legjobb eredmeny szerint legfeljebb 8.0161 (Hata 1992).

Liouville sokkal gyorsabban konvergalo sorokkal adott meg vegtelen irracionalitasi merteku (tehat transzcendes) szamokat: ilyen pl. a 2^-n! tagokkal rendelkezo sor.

Egy joval melyebb eredmeny szerint (Roth 1955) minden algebrai szam irracionalitasi merteke pontosan 2. Meg nyitott a kerdes, hogy ebbol az erosebb kriteriumbol kovetkezik-e a pi transzcendens volta. Az en tippem az, hogy nem, azaz hogy a pi irracionalitasi merteke is pontosan 2.

Az e es a pi transzcendens voltanak egy bizonyitasa elerheto az interneten: http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes6.pdf