"

A David Hilbertről elnevezett Hilbert-tér matematikai koncepciója általánosítja az euklideszi tér fogalmát. Kiterjeszti a vektoralgebra és a számítás módszereit a kétdimenziós euklideszi síktól és a háromdimenziós tértől a bármilyen véges vagy végtelen számú dimenziós terekre. A Hilbert tér egy absztrakt vektortér, amely egy belső termék szerkezetét birtokolja, amely lehetővé teszi a hossz és a szög mérését. Továbbá elkészültek a Hilbert-terek: a térben elegendő határ van ahhoz, hogy a számítási technikák alkalmazhatóak legyenek.A Hilbert terek természetesen és gyakran keletkeznek a matematikában és fizikában, jellemzően végtelen dimenziós funkcióterekként. A legkorábbi Hilbert-tereket ebből a szempontból tanulmányozta a 20. század első évtizedében David Hilbert, Erhard Schmidt és Riesz Frigyes.Ezek nélkülözhetetlen eszközök a részleges differenciálegyenletek, a kvantummechanika, a Fourier analízis (amely magában foglalja a jelfeldolgozásra és a hőátvitelre való alkalmazásokat is) – és a termodinamika matematikai alátámasztását képező ergodikus elmélet elméletében. John von Neumann alkotta meg a Hilbert-tér kifejezést arra az absztrakt koncepcióra, amely számos ilyen alkalmazást alapul. A Hilbert űrmódszerek sikere egy nagyon gyümölcsöző korszakot vezetett be a funkcionális elemzéshez. A klasszikus euklideszi tereken kívül a Hilbert terek példái közé tartozik a négyzetintegrálható funkciók terei, a szekvenciaterek, a generalizált funkciókból álló Szoboljev terek és a holomorf funkciók Hardy terei.A geometriai intuíció a Hilbert űrelmélet számos szempontjából fontos szerepet játszik. A Pitagorasz-tétel és a parallelogramm törvény pontos analógjai egy Hilbert térben. Mélyebb szinten jelentős szerepet játszik az optimalizálási problémákban és az elmélet egyéb aspektusaiban a szubtérre való merőleges vetítés (egy háromszög „magasságának leesése” analógja. A Hilbert tér egy elemét a koordinátáival egyedien meghatározható koordinátái alapján egy-egy koordináta (orthonormális alapon), a síkban lévő kartéziai koordinátákkal analógia szerint. Amikor az a tengely számtalan végtelen, akkor ez azt jelenti, hogy a Hilbert-terület is hasznosan gondolható végtelen, négyzet-összegű sorrendben. A Hilbert téren lévő lineáris üzemeltetők hasonlóan eléggé konkrét tárgyak: jó esetben egyszerűen átalakulások, amelyek kölcsönösen merőleges irányban nyújtják a teret, olyan értelemben, amit spektrumuk tanulmányozása is pontosabbá tesz.

"