Mikor van egy differenciálegyenletnek irreguláris megoldása? Valaki tud erre a kérdésre pontos választ adni?

 

A testek (klasszikus) mozgását másodrendű diffenenciálegyenlet írja le. F=ma. Ez a derivált szempontjából mindig lineáris: erőhatások függetlensége. Habár az erő lehet a helytől vagy explicit módon az időtől nem lineárisan függő. (A helytől függő erő természetesen lehet implicit módon időfüggő, a test mozgásából adódóan: ∂F/∂x * ∂x/∂t). A kérdésem az, hogy pusztán az erőtörvény miatt keletkezhet-e irreguláris megoldása a mozgást leíró differenciálegyenletnek?

 

A legegyszerűbb erőtörvényeket vizsgálva úgy tapasztaljuk, hogy a másodrendű differenciálegyenlet megoldásában mindig van két szabad paraméter (integrációs konstans), amelyeket a kezdeti feltételekből határozhatunk meg, a harmadik szabad paraméterrel együtt, amely az egész egyenletnek a fő együtthatója. (Skálafüggetlen leírás esetén általában ezzel leosztjuk a többi együtthatót, tehát a másodfokú tag együtthatója olyankor 1 lesz.)

 

Legegyszerűbb esetben a kezdeti feltételeket úgy állítjuk be, hogy a kezdő pozíció és a kezdeti sebesség nulla legyen, ekkor az integrációs konstansok eltűnnek. De természetesen választhatunk tetszőleges kezdeti pozíciót és kezdősebességet. A differenciálegyenlet általános megoldásában ha minden szabad paraméter rögzítünk egy edott értéken, akkor kapjuk a partikuláris megoldást az általános megoldásból. Ezek ún. reguláris megoldások.

Lineáris differenciálegyenlet esetében a partikuláris megoldások összege (sőt: lineáris kombinációja) is megoldás.

 

Lehetséges azonban - bizonyos differenciálegyenleteknél - irreguláris megoldás is, amely nem származtatható az általános megoldásból a szabadon választható konstansok megadásával. Formailag egészen eltérő alakja van egy ilyen függvénynek. Úgy tudjuk, ha a görbeseregnek ez a burkolója. Ha értelmezni próbáljuk, arra gondolhatunk, hogy az integrációs "konstansok" úgy függenek az időtől, hogy ezáltal a megoldásnak minden pontban szélsőértéke (azaz vagy maximuma, vagy minimuma) legyen. Ravaszabbak gondolhatnak inflexiós pontra is?

 

Ebből már (esetleg) adódik egy olyan módszer, amely a szabad paraméterek variálásával stacionárius megoldást keres...

(Egyelőre még ez csak egy ködös elképzelés, precízebben ki kell dolgozni. A tét persze nem nagy. Mert már tudjuk, hogy a Newton-i mechanika csak határesete a kvantummechanikának.)