Kezdetnek:
f(x) = A sin(ix) + B cos(ix)
f'(x) = Ai cos(ix) - Bi sin(ix)
f''(x) = -Aii sin(ix) - Bii cos(ix) = A sin(ix) + B cos(ix)

Akkor most legyen k=2iπ:

f(x-2iπ) = A sin(i(x-2iπ)) + B cos(i(x-2iπ)) =
= A sin(ix+2π) + B cos(ix+2π) =
= A sin(ix) + B cos(ix) = f(x)

(A további kérdéseidet nem értettem meg; remélem, legalább te magad érted őket.)