A második bekezdést elmondhattam volna egyszerűbben is. Ime.

A kérdésedre itt az igazi válasz. Tekintsük a szokásos euklideszi síkot, és azon rögzítsünk egy szabályos hatszöget. A hatszög alatt a határoló oldalszakaszokat értjük, a hatszög belsejét nem. Jelölje H(P,r) azt a szabályos hatszöget, ami egyállású a rögzített hatszöggel, középpontja a P, sugara az r. Most definiálunk egy új távolságfogalmat a síkon. A P-től r "új távolságra" levő pontok halmaza definíció szerint legyen a H(P,r). Meggondolható, hogy így egy metrikus teret, valójában Banach-teret kapunk. Ebben az új geometriában definíció szerint a H(P,r) halmazok a körök. Meggondolható, hogy H(P,r) átmérője (az új geometriában) 2r, a kerülete (az új geometriában) pedig 6r (az átmérő 3-szorosa). Érdekesség: 1976-ban igazolták, hogy a 2-dimenziós Banach-terek körében (egybevágóság erejéig) a fent leírt geometria az egyetlen, amiben minden kör kerülete az átmérő 3-szorosa.