milyen az a geometria, ahol a kör kerülete 3-szorosa az átmérőnek?

Elnézést, az előző üzenetemben egy másik kérdést válaszoltam meg (nevezetesen hogy a gömbi geometriában melyik kör kerülete 3-szorosa az átmérőnek).

A kérdésedre itt az igazi válasz. Tekintsük a szokásos euklideszi síkot egy origóval. A síkon rögzítsünk egy szabályos hatszöget, aminek középpontja az origó, átmérője 2. A hatszög alatt a határoló oldalszakaszokat értjük, a hatszög belsejét nem. Jelölje H(r) ennek a rögzített hatszögnek az origóból r-szeresre nagyított képét. Most definiálunk egy új távolságfogalmat a síkon. Vegyünk két különböző pontot, P-t és Q-t. A PQ vektort toljuk fel az origóba. A P és a Q pont "új távolsága" definíció szerint az az egyetlen pozitív r szám, amivel az eltolt vektor a H(r)-re esik. Nem nehéz meggondolni, hogy ebben az új geometriában az r sugarú körök éppen a H(r) hatszögek eltoltjai: az átmérőjük 2r, a kerületük 6r. Tehát az új geometriában minden kör kerülete az átmérő 3-szorosa. Érdekesség: 1976-ban igazolták, hogy a 2-dimenziós Banach-terek körében (egybevágóság erejéig) a fent leírt geometria az egyetlen, amiben minden kör kerülete az átmérő 3-szorosa.