Nem világos, mit értesz "egyéb lehetőségeken". Ahogy a topiknyitó sem mondta meg precízen, mit ért "geometria" alatt.

A Riemann-sokaság egy precíz matematikai fogalom, ezt szokás "görbült tér" alatt érteni. Fontos, hogy minden pontban legyen görbület (a kúppalást pont nem ilyen). Mivel körökről van szó, érdemes a kétdimenziós Riemann-sokaságokra hagyatkozni (az n-dimenziós esetben magyarázni kellene, mit jelent a kétdimenziós kör, és a végén visszajutnánk a kétdimenziós esetre). Kétdimenziós Riemann-sokaságon nem teljesül a topiknyitó kívánalma, hogy minden kör kerülete az átmérő 3-szorosa legyen. Elmagyaráztam részletesen, miért.

Vannak egyéb lehetőségek, pl. (kétdimenziós) Banach-terek. Itt már van egyetlen megoldás (izometria erejéig). Ezt is leírtam részletesen. Ironikus módon évekkel ezelőtt ezt már leírta más ugyanebben a topikban, de szemmel láthatólag ez sem jutott el a topiknyitóig. Itt egyesek nem értik, ha valami nem létezik, de azt se értik, ha valami létezik. Kérdés, hogy akkor mit értenek, érdemes-e írni ide egyáltalán. Gyanítom, hogy nem.