Mert ha ugyanúgy, mint a normál geometriában, akkor miért lenne az egyes körök kerülete különbözőképpen számolva?

A körkerület szokásos képlete (2pi*r) az euklideszi geometria tétele, az euklideszi axiómák következménye. Pontosabban az a tétel, hogy az r sugarú kör kerülete az egységkör kerületének r-szerese. Az egységkör félkerületét jelöljük pi-vel, innen jön a 2pi*r képlet.

Na most egy görbült felületen nem érvényesek az euklideszi axiómák, ezért nem meglepő módon az említett tétel sem igaz. A körök kerülete bonyolultabb módon függ az átmérőtől és a középponttól. A távolságokat ugyanis mindig az adott geometrián belül kell érteni. Ha az euklideszi térbe beleteszel egy R sugarú gömböt, akkor az északi és a déli sark távolsága az euklideszi térben 2R, a gömb felületén azonban pi*R. Az északi és a déli sark között középen húzódó főkör ("egyenlítő") átmérőre pi*R sugarú kör, a kerülete pedig ennek csupán kétszerese, 2pi*R.

A görbült felületen mennyi a négyzet kerülete?

Négyzeten olyan négyszöget értünk, aminek az oldalai és a szögei is egyenlőek. Apriori nem világos, hogy ilyen egyáltalán létezik egy általános felületen (valószínűleg létezik, de ez bizonyításra szorul). Mindenesetre bármely felületen egy sokszög kerülete az oldalhosszainak összege. Tehát egy d oldalú négyzet kerülete mindig 4d. Viszont egy d oldalú négyzet átmérője nem gyök(2)d, mint az euklideszi geometriában. Tehát négyzet esetében a kerület/átmérő arány nem gyök(8), de még csak nem is konstans, mint az euklideszi geometriában.