Meg kell nézi, hogy a saját rendszerében (vesszőtlen) és egy leíró rendszerben (vesszős), mit jelent az anyagi pontnak a sebessége és a gyorsulása.
Az igazság az, hogy négyestérről van szó, 1+1-ben a dolgok egyszerübbek, de félrerthetők- innen ez a vita.
Nagybetű a vektor.
Per definició:
A négyessebességet: R négyes helyvektor első deriváltja a sajátidő szerint:
U=dR/dτ, a koordinátái uμ=dxμ/dτ.
A négyesgyorsulás: R négyes helyvektor második deriváltja a sajátidő szerint:
A=dR2/dτ2, a koordinátái aμ=d2xμ/dτ2
Tudjuk, hogy dτ2=dt2-[dr]2 Lorentz invariáns, azaz bármelyik :t: rendszeridejű IR nézve a saját rendszerben (pillanatnyi) mért sajátidő invarináns.
Innen dτ2/dt2=1- [dr]2/dt2=1-v2= 1/γ2 és dt/dτ=γ (gamma) , ahol V=dR/dt a klasszikus hármassebesség, aminek a hossza v=dx1/dt vagy v=dx/dt , ha 1+1-be lépünk át.
Négyessebesség alakja: uμ=γ (1,v), komponensei: időszerű uo= γ, térszerű ui=γv.
Ha a megfigyelő a pilanatnyi IR ül, akkor uo=1, mivelhogy ebben a rendszerben a v=0 -->γ=1, vagy másképp írva uμ= (1,0).
Most vegyük a négyesgyorsulást.
aμ = d2xμ/dτ2
ao=duo/dτ2= (dt/dt) * dy/dτ = dt/dτ *dy/dt= y *dy/dt - az időszerű komponens,
ai=dui/dτ= (dt/dt) *d(yv)/dτ = y *d(yv)/dt= y *(vdy/dt+ya )- a térszerű komponens, ahol v = dx /dt és a=d2x/dt2 , hármas sebesség és gyorsulás hossza, ha 1+1-be lépünk át.
akkor
aμ=y (dy/dt, v*dy/dt+ya )
ha v=0 ---> γ=1, az aμ=(0,a).
A pillanatnyi IR-ben úgy hiszem, hogy a UA=0, azaz a négyes sebesség és a négyes gyorsulás vektorok merőlegesek.
Hiszen UA= UoAo - U1A1= 1*0- 0*a2=0
Egy :v: pillanatnyi sebességgel mozgó :a: állandó gyorsulással haladó anyagi pont esetében
AA= -a2 azaz ez lenne a négyesgyorsulás hossza.
