"The first, most basic mathematical object we will define using sets is the natural numbers (i.e., the nonnegative integers). We would like to define the set of natural numbers as N = {0, 1, 2, 3, . . .}, but there are a few difficulties with this. First, we need to define what 0, 1, 2, 3, and so on are as sets. Then we have to figure out what “. . .” means more precisely. Let’s start at the very beginning: what is 0? We could take any set and call it 0, but perhaps the most natural choice is the empty set, the only set that has 0 elements. Thus we make a definition: Definition 1.1. 0 = ∅. OK, we’ve defined 0 as a set; how about 1? Just as we defined 0 to be the empty set, a set with 0 elements, perhaps we could define 1 to be a set with 1 element. Again, the choice is arbitrary, but we will choose: Definition 1.2. 1 = {0} = {∅}. That is, 1 is the set whose only element is 0. We can now similarly define all the natural numbers: Definition 1.3. 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, . . . , n = {0, 1, 2, . . . , n − 1}, . . . That is, we one-by-one define each natural number as the set of all the smaller natural numbers. This allows us to talk about any natural number individually—if you hand me a number, I can (laboriously) write it down as a set built up from the empty set. For example, 4 = {0, 1, 2, 3} = {∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}."
Szerintem a természetes syámokat nem a Rónai Egon találta fel, ennyire gonosz még ő sem lehet.
Játssza a jó fej, laza nagypapit, miközben a villamossínen parkol a nagy fekete BMW-vel.
Már a köszönésnél rendszeresen belefojtja a szót a másikba, és kedvelt módszere, hogy amikor a másik olyat mond, amivel ő nem ért egyet, akkor előadja a legsötétebb SZDSZ-es álláspontot, és témát vált.
There are lots of ways we could go about adding negative numbers to the natural numbers to get all integers. For example, we could simply arbitrarily construct a set “−n” for each positive natural number n (say, we could define −n = (N, n)).
A finite sequence of reals F is a function from an initial segment of the positive natural numbers to the real numbers; the cardinality of its domain is len F.
ftp://ftp.cs.yale.edu/pub/TR/tr1278.pdf
2. Legyen a és m rögzített pozitív természetes számok és jelölje f(b) az ax ≡ b (m) kongruencia páronként inkongruens megoldásainak számát. Határozd meg a Pm b=1 f(b) összeget.
5.13. Példa. Jelölje N+ a pozitív természetes számok halmazát, és legyen L a { < } ∪ {cn : n ∈ N+ } nyelv, T pedig a “< s ˝ur ˝u rendezés, és { cn < cm : n < m }” elmélet az L nyelven.
Fundamentalsatz (∃! kanonische Primzerlegung): Jede ganze Zahl a > 1 besitzt genau eine Darstellung der Form a = p e1 1 . . . per r = Yr i=1 p ei i wobei r ∈ N≥1 ist, und p1, . . . , pr sind Primzahlen mit p1 < . . . < pr und e1, . . . , er sind streng positive naturliche Zahlen
