»» Kedves Első Polgár!
Kérdésére, hogy a mátrixfüggvényes megközelítéssel, azaz bizonyos differenciálegyenlet rendszerek ilyen módú megoldása összefüggésben van-e a differenciálegyenletek numerikus megoldására a már rég óta ismert és használt Runge-Kutta eljárással, egyértelműen lehet válaszolni: NINCS. A kettő módszertanilag kizárja egymást!
"Hecse" vitatársunk ajánlott néhány forrást. Benne az Ön révén citált Runge Kutta eljárásról is talál angol nyelvű leírást. Az alábbiakban megadott irodalom (mellyel kiegészíteném a korábban közölteket) adhat még Önnek további és némi kiindulási- és támpontot egyes ismertebb, gyakrabban használt numerikus módszerről. Közülük a [25,26] könyvekben van szó a (többed rendű) Runge Kuttáról. A többi inkább csak további háttér lehet a csatlakozó problémákhoz és esetleges egyéb kérdésekhez.
[24] Móricz Ferenc: Numerikus módszerek az algebrában és analízisben; Polygon Könyvkiadó, Szeged, 1997, Jegyzettár; 860 Ft, ISSN: 12184071; itt megtekinthető: http://www.math.u-szeged.hu/polygon/;
[25] Bajcsay Pál: Numerikus analízis; Tankönyvkiadó, Bp., 1978; BME jegyzet;
[26] Obádovics J. Gyula: Gyakorlati számítási eljárások; Gondolat Kiadó, 1972;
[27] Obádovics J. Gyula: Líneáris algebra példákkal; Scolar Kiadó, Bp; 2001; 2750 Ft, ISBN: 9639193569.
Leginkább ajánlanám a [25]-öst, melynek újabb kiadását a minap láttam a Budapesti Műszaki és Gazdasági Egyetemen, a XI. Egry J. utcában lévő V2-es épület földszintjén megtalálható jegyzet-, könyvesboltban. Benne sok numerikus módszert mutat be a szerző. Többek között számosat differenciálegyenletek megoldására. Tán ez kellene Önnek?
Az Ön által felvetett Runge Kutta eljárás közönséges differenciálegyenletet numerikus megolgására (vagyis az eredményfüggvény pontjainak meghatározására) általánosan használható. A mátrixfüggvényes technológia viszont csak meghatározott típusokra. Ez már az egyetemi tananyagon jóval túl lévő operátor-megoldásokhoz tartozó összetett módszer, noha numerikus technológiai elemeket is alkalmaz, analitikus eredményeket ad, azaz a rendszert meghatározó mátrix sajátértékeitől és azok multiplicitásától függően számított típusú függvények halmazát és együtthatóit. A mátrixfüggényes megoldás elsősorban líneáris (de nem szükségszerűen csak állandó együtthatós közönséges és általánosítva, meghatározott típusú parciális) differenciálegyenlet rendszerek megoldásánál ajánlható. Használata elegáns, de a méret növekedésével a generált függvényhalmazok rengeteg, s manuálisan meglehetősen nehezen értékelhető eredményadatot eredményeznek. Mindemiatt esetleges használata csak akkor javasolható, ha a felhasználó, alkalmazó közeg tisztában van, ismeri ezen szemlélet és módszer korlátait is. Hisz a megoldásfüggvényben megjelenő exp(tX) mátrixfüggvényt, ahol "t" egy tetszőleges paraméter, az X pedig általánosan egy komplex együtthatómátrix, is több módon lehet generálni. Például: annak Taylor sorával, Hermit-féle interpolációval, stb. Így, ha az Ön feladata (a feltehetően korlátozott erőforrás-térben) olyan, hogy az megoldható ismert és hagyományos módszerek valamelyikével, például valahanyad rendű Runge Kutta numerikus módszerrel, akkor inkább azt válassza, mint egy olyan összetett, de elegánsabb módot, amelynek nehézségeit, buktatóit nem látja, megismerésére pedig feltehetően (projektjén belül) se ideje, se pedig pénze nincs.
Útfigyelő
Koszonom szepen a segitseget ez tenyleg jo attekintest ad, kulonosen a matrixok megmagyarazasat es a linkeket koszonom.
Annyit szeretnek kerdezni, hogy ugye a Runge-Kutta eljaras is matrixfuggvenyes megoldasi modszerek koze tartozik?
»» Kedves Első Polgár!
Különféle (közönséges és parciális) differenciálegyenletek felhasználási köre, a valóságot leírni szándékozó modellekben való használata igen széles (a fizikától a gazdasági, pénzügyi folyamatokig). Ha már sikerült részletes rálátást szerezni arra, hogy mi a csuda is ez, és mire is lehet azt használni (hisz már a jó öreg Newton is bevetette ezen absztrakciókat gondolatainak és ötleteinek megformulázására), akkor érdemes átpörgetni az alábbi (általam találomra kiválasztott) magyar nyelvű könyveket:
[1] Hatvani László – Pintér Lajos: Differenciálegyenletes modellek a középiskolákban. Polygon Könyvkiadó, Szeged, 1997 – Könyvtár; ISSN: 12184071; 990 Ft; – már mások is javasolták
[2] Bajcsay,P. – Fazekas,F.: Közönséges differenciálegyenletek – 2. rész; Műszaki matematika gyakorlatok sorozat, B VII.** kötet; szerkesztő: Fazeka Ferenc; Tankönyvkiadó, Bp., 1969.
[3] Terjék József: Differenciálegyenletek. Polygon Könyvkiadó, Szeged, 1997 – Jegyzettár; ISSN: 14170590; 640 Ft;
[4] Rózsa,P.: Lineáris algebra és alkalmazásai; Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974; ISBN: 9631000184; – van későbbi kiadása is!
A tárgykörben azonban mind magyar, mind pedig angol nyelvűekkel Dunát lehet rekeszteni. Hogy kulcsszó alapján könyvtárakban keresni tudjon, megadnák néhány általam használhatónak vélt honlapot is:
…….BMGE és OMIKK:http://www.kkt.bme.hu/ …….The Library of USA Congress::http://www.loc.gov/ …….The British Library:http://www.bl.uk/ …….Ohio Library and Information Network:http://www.ohiolink.edu/ …….Amazon – USA:http://www.amazon.com/ A differenciálegyenletekkel foglalkozó tan- és szakkönyvek a megoldási módokra is adnak javaslatot. Ezeket két nagy csoportba lehet osztani: (1) olyan algoritmusok, amelyek zárt alakú megoldást adnak; (2) olyan numerikus eljárások, amelyek valamilyen pontossággal produkálják a megoldás/megoldások függvényét/függvényeit, illetve annak/azok pontsorozatát.
Ha a modellezendő jelenséget leíró differenciálegyenlet, illetve differenciálegyenlet rendszer mérete nő, akkor többnyire csak a numerikus módszerek jöhetnek számításba. Persze kivételek is vannak: (*) sajátságos – pl. periódikus, stb. tulajdonságú – diff.e. rendszerek esetén vagy (**) meghatározott megoldási technológiák használatakor (pl.: Laplace transzformáció, mátrixfüggvények, stb. – parciális diff.e.-re is). A numerikus módszerek tárháza bőséges. Főleg nagygépes (és tudományos, valamint egyetemi oktatási) környezetben lehet ilyen nyilvános forrásnyelvű könyvtárakhoz hozzáférni. Ha jól emlékszem, a (PC-s) MATLAB is tartalmaz hasonlókat. Azaz nem szükséges most és feltehetően a rendelkezésre álló rövid idő alatt "feltalálni"” egy újat, hanem valamely már meglévőt és alaposan tesztelt(!!) megoldást célszerű az adott projekt céljai és lehetőségei közé beemelni. Bár a numerikus módszerek (finoman fogalmazva) egyike-másika sem univerzális megoldási mód, mert általában van egy-két (publikált és/vagy rejtett) korlátozó kitételük, mely csak az eredmény értékelésekor derülhet ki.
A mátrixok ott jönnek be a képbe, hogy a differenciálegyenletet átalakítják differenciálegyenlet rendszerré (pl: fázis- és/vagy állapotegyenlet rendszerré), melynek megoldásához a rezolvenst használják, azaz egy exponenciális mátrixfüggvényt és annak grammi alakját, mely az inhomogenitást kezeli. Az exp mátrixfüggvény zárt alakú megoldásához szükséges ismerni az együttható mátrix sajátértékeit, azaz a minimálpolinom gyökeit és multiplicitásait, amelyek majd a Hermite-féle interpolációs polinomban is megjelennek.
Egy másik, a folytonos felfogástól, kezeléstől és leírástól eltérő irány a folyamatok diszkrét modellekben történő leképzése. A pénzügyi és a közgazdasági diszciplínákban, folyamatokban és rendszerekben megvan az erre utaló erőteljes indokoltság. Ekkor azonban a megoldási módok is mások lesznek, hisz differenciálegyenletek helyett már differenciaegyenletek alkotják a modellt.
A fenti gondolatok kutyafuttában történő és hangyányi mélységű áttekintéséhez (érdekesség és a témában való kezdeti nekiindulás képen) még az alábbiak is ajánlhatók:
[5] Henrici,P.: Numerikus analízis; Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1985; ISBN: 9631064190;
[6] Bahvalov,N.SZ.: Gépi matematika numerikus módszerei: analízis, algebra, optimális .., közönséges differenciálegyenletek; Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1977;
[7] Lovass-Nagy,V.: Mátrixszámítás; Műszaki matematika gyakorlatok sorozat, C IV kötet; szerkesztő: Fazeka Ferenc; Tankönyvkiadó, Budapest, 1972;
[8] Csáki,F. Fejezetek a szabályozástechnikából, állapotegyenletek; Műszaki Könyvkiadó, Budapest; 1973; –- feltehetően van későbbi kiadása is!
[9] Murray R. Spiegel: Schaum’s Outline of theory an Problems of Calculus of Finite Differences and Difference Equations; McGraw-Hill, September 1971, ISBN: 0070602182;
[10] Earl A. Coddington - Joseph Landin: An Introduction to Ordinary Differential Equations; Dover Pubns; 1989, ISBN: 0486659429;
[11] Richard Bronston: Schaum's Outline of Theory and Problems of Differential Equations; McGraw-Hill; 2nd edition, 1994, 306 pages; ASIN: 0070080097;
[12] Richard Bronston: Schaum's Outline of Differential Equations; McGraw-Hill; 2nd edition, 1994, 358 pages; ISBN: 0070080194;
[13] Paul Duchateau - David W. Zachmann: Schaum's Outline of Partial Differenctial Equations; McGraw-Hill; 1986, 256 pages; ISBN: 0070178976;
[14] Stanley J. Farlow: Partial Differential Equations for Scientists and Enginners; Dover Pubns; 1993, 414 pages; ISBN: 048667620X;
[15] Seymour Lipschutz: Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra (Schaum's Outline Series); McGraw-Hill; 2nd edition, 1991, 453 pages; ASIN: 0070380074;
[16] Seymour Lipschutz - Marc Lars Lipson: Schaum's Outline of Linear Algebra; McGraw-Hill; 3rd edition, 2000, 424 pages; ISBN: 0071362002;
[17] Murray Spiegel: Schaum's Outline of Advanced mathematics for Enginners and Sciences; McGraw-Hill; 1971, 416 pages; ISBN: 0070602166;
[18] Edward T. Dowling: Schaum's Outline Introduction to Mathematical Economics; McGraw-Hill; 3rd edition, 2000, 523 pages; ISBN: 007135896X;
[19] Edward T. Dowling: Schaum's Outline of Mathematical Methods for Business and Economics; McGraw-Hill; 1992, 384 pages; ISBN: 0070176973;
[20] Edward T. Dowling: Schaum's Outline of Mathematical Economics; McGraw-Hill; 2nd edition, 1992, 485 pages; ASIN: 0070176744;
[21] Petr Zima - Robert L. Brown: Schaum's Outline of Mathematics of Finance; McGraw-Hill; 2nd edition, 1996, 250 pages; ISBN: 0070082030;
[22] Edward T. Dowling: Schaum's Outline of Mathematical Methods for Business and Economics; McGraw-Hill; 1992, 384 pages; ISBN: 0070176973;
[23] Eugene A. Diulio: Schaum's Outline of Macroeconomics; McGraw-Hill; 3rd edition, 1997, 333 pages; ISBN: 0070170533.
Mivel igazán a problémáját nagyon széles horizonttal és feltehetően csak alapvető tájékozódási szándékkal vetette fel, esetleg (szűkebben) programozási feladatként és kíváncsiskodásként, az arra való érdemi válaszadásom csak tapogatózó és az Önéhez hasonlóan csapongó lehet.
Elnézést az esetleges régebbi és Mo.-on tán hozzá sem férhető – angol nyelvű – irodalmi hivatkozásokért, de azok is tartalmazzák azon részleteket, amelyre Önnek feltételezhetően szüksége lehet. A területen azonban – ismereteim szerint – korszerű összefoglaló művek már csak angolul publikáltak. Azokat pedig a megadott könyvtári portálokon kulcsszó [pl.: "differential+equation", "ordinary+de", ode, ...] alapján megtalálja. Egyben pedig fel szeretném hívni a figyelmét, hogy az esetleges megoldási technológia mellett tán még annál is fontosabb a modellalkotás. Azaz annak a rendszernek, jelenségnek vagy/és folyamatnak a kellő pontosságú és finomságú logikai struktúrává és matematikai "egyenletté" való alakítása, amely az Ön vizsgálatának a tengelyében van. Erre vonatkozóan is megpróbáltam ajánlani Önnek néhány művet.
Útfigyelő
eigenvalue = sajátérték, l az A mátrix sajátértéke, ha van olyan x nem nulla vektor, hogy Ax = lx (azaz a transzformáció iránytartó). Szerepe van pl. lineáris diffegyenlet-rendszerek megoldásában.
Richardson extrapoláció:
Csak annyit, ami a neten találtam róla.
Adott egy f(x) függvény. Ennek diriváltja az f'(x) függvény. Az f'(X), ahol X egy konkrét érték, kiszámítására ad egy algoritmust (módszert). Magyarul numerikus differenciálási módszer. Az f(x) függvény értékeit számolja ki az, X,X+h,X+h/2,X+h/4, ...X+h/2**N helyeken és ebből számítja a deriváltat.
Richardson extrapolációról tud vki valamit mondani?
az "eigenvalue" nevü csodajószág mit keres a diffegyenletek megoldásánál?
a Google-on rákerestem de mindenütt mátrixokra értelmezték.
meg olvastam olyat is, hogy a jacobian az egyenlet eigenvalue-ja. ez mar egy kicsit too much.
Numerikus modszer van jonehany, azokat foleg okonometriaban hasznaljak, pl ha a likelihood fuggvenynek nehez felirni az analitikus derivaltjait es Hess-matrixat (magyarul igy hivjak?). A legismertebb talan a Newton-Raphson, aztan vannak meg a DFP (Davidon, Fletcher, Powell), a BFGS (Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno), vagy a BHHH. Emellett vannak kulonbozo modszerek a lepeskoz valtoztatasara is.
En is kozgazdasz vagyok, ugyhogy ebbol az aspektusbol tudok segiteni.
Makroban gyakran elojonnek a diffegyenletek (novekedesi modellek pl), emellett penzugyben talan meg tobbszor (Krugman-fele arfmodell, Black-Scholes fele opcioarazasi formula, stb), de azok mar sztochasztikus diffegyenletek es integralok, ugyhogy ne azokkal kezdd az ismerkedest:)
Végeselem módszerek. Amikor én tanultam, ez volt a menő. De ez már régen volt.
A hibák felhalmozódásának problémája egy másik alapvető kérdés és az már egy másik tudományág.
Pl vegyük a másodfokú egyenlet tankönyvi megoldását (megoldóképlet). Bizonyos esetekben az egyik gyök pontatlan lesz (Az egyik gyök 0-hoz közeli kis szám.).
Ha az egyenlet,
x**2+ax+b=0, alakú, akkor tudható, hogy
x1*x2= b
Tehát először ki kell számolni az abszulut értékben nagyobb gyököt és a kisebbet az
x2 =b/x1 összefüggésből számolhatjuk. És ez már sokkal pontosabb lesz.
Ilyen gravitációs szimulációkkal már sokat szórakoztam, anélkül, hogy tudtam volna, hogy diffegyenleteket oldok meg numerikusan. bár sejtettem. a probléma az volt, hogyha kicsire vettem a léptéket, akkor gyönyörüen kirajzolódtak a pályák, de ha azt akartam szimulálni, hogy évmilliók alatt hogyan alakul a bolygók mozgása, akkor a Föld egy pár millió év után elkezdett kifelé konvergálni a Naptól. szóval hosszú távon akkumulálódtak a kis hibák, és ez használhatatlanná tette az egészet
A numerikus modszerek alapjaikban veve nagyon egyszeruek. Mind arra epulnek, hogy a folytonos problemat felosztjuk sok kis darabra, es az igy keletkezo diszkret problemat oldjuk meg.
Igazabol, az alapotlet nagyon egyszeru, ha az ember megertette, akkor a kepletek mar mind trivialitasnak tunnek.
Peldaul kepzeld el, hogy egy olyan progit akarsz irni, ami harom bolygo mozgasat szimulalja. A bolygok kozott gravitacio hat, es a newtoni egyenletek szerint mozognak. Ezt a problemat nem lehet zart alakban megoldani.
A trukk az, hogy mindig kiszamolod, hogy a bolygok hol lesznek a kovetkezo masodpercben, es mi lesz a sebesseguk. Ezt viszont nem pontosan, (mert ehhez megint csak meg kene oldanod a diffegyenletet) hanem felteszed, hogy egy masodpercen belul a bolygok sebessege nem valtozik. Ezen felteves mellett kiszamolod a kovetkezo masodpercbeli helyuket. Felteszed azt is, hogy a gyorsulas (vagyis az erok) nem valtoznak egy masoddpercen belul, igy a pillanatnyi ertek szerint kiszamolod az egy masodperccel kesobbi sebesseget. Majd a vegen a az uj poziciok alapjan ujraszamold a gravitacios egyenletbol a bolygokra hato eroket. Ezt az eljarast ismetelgeted masodpercrol masodpercre. Ez nyilvan nem lesz pontos, de az intuicio alapjan is erezheto, hogy jo kozelitest fog adni.
Vannak persze ennek trukosebb valtozatatai, (Runge Kutta), de az alapotlet mindig ugyanez.
ha egy adott kezdeti ertekbol indulo konkret megoldas erdekel, akkor tenyleg a numerikus modszerek ajanlottak, tekintve, hogy a gyakorlatban eloforduloak jo reszere nincs egzakt
explicit megoldas.
Ami viszont igazan erdekes, az a differencialegyenletek kvalitativ elmelete, ami durvan fogalmazva az osszes megoldast egyutt vizsgalja, vagyis ezek strukturajat az allapotterben, ugymint stabilitas, aszimptotikus viselkedes, invarians sokasagok, stb.
Ha numerikus modszerek erdekelnek, akkor keress ra arra, hogy Runge-Kutta, de egy csomo program van, ami diffegyenleteket old meg numerikusan.
Ha viszont arra vagy kivancsi, hogy milyen jelensegeket es hogyan es miert lehet diff.egyenletekkel modellezni, akkor ajanlom a Hatvani - Pinter : Differencialegyenletes modellek a kozepiskolaban cimu konyvet, ami a Polygon sorozatban jelent meg, ebben errol erthetoen es tenyleg erdekesen irnak.
milyen numerikus módszerek vannak?
én egyébként egy Euler módszerről szóló PDF-et olvasgattam, de 5 lap után abbahagytam mert rohadtul nem értettem az egyenleteket.
nem vagyok bölcsész és nem írok filozófia esszéket. közgazdász vagyok, tanultam anált én is bár csak egy félévig. meg előtte már középiskolában is, de az már 10 éve volt és kurvára elfelejtettem. most éppen hobbiból programozgatok egy olyan projectben, ahol többek közt diff egyenleteket oldogatnak meg numerikusan, bár én csak a bölcsészmunkát csinálom, azaz GUI-t programozok. de szeretném megérteni az egészet.
hmmm, az a nagy budos igazsag, hogy ugyan 8 felev analizst kuzdottem le tanulmanyaim soran, mindentiol fuggetlenul, jegyzet nelkul nemmernek csak ugy csuklobol egazakt definiciokat osztani :) ehez en hulye vagyok... de azt elhiheted, hogy a diffegyenletek vilagaban valo eligazodasahoz nem art, ha kened vagod a klasszikus fugvenytan alapjait kezdve az egy es tobbvaltozos fuggvenyek differencialasan at egeszen a primitiv fugvenyek keresesenek es az ezzel kapcsolatos tetelek es definiciok elsajatitasaig :)
Amugy miert vagy rakattanva erre a temara ennyire :) ? bevallom eddig nem sok bolcseszmernok baratom akadt akik ket filozofiai essze megiarsa kozben radobbentek, hogy mekkora ego, hogy nem ertik a differencial egyenleteket :)
Parcialis: a fuggvenyek parcialis derivaltjai szerepelnek az egyenleltben.
Kozonseges,Ordinary: Egy ismeretlen fuggveny van.
Linearis,linear: A kulonbozo fuggvenyek amiket keresunk, nincsenek egymassal osszeszorozva. (Az osszes ismeretlen fuggveny egymastol fuggetlen valtozokrol kepez).
Jakobi matrix: A fuggveny parcialis derivaltjaibol kepzett matrix.
Merevseg: Gondolom alatt azt ertik, hogy adott kezdoertek mellett, egy linearis diffegyenelethez, vagy egy olyan tartomany, amin egyertelmu a megoldasa.
ez hogy jön ki? Ez a közvetett függvény deriválása: a belsõ fv az r', a külsõ a x^2.
ez nagyon kemény Ezt nagyon jól látod :) A diffegyenletek nagy általánosságban nem oldhatók meg egzaktul, viszont fejlett numerikus módszerek vagynak ellenük...
no, akkor ejthetnél még egy pár szót arról, hogy mi az a partial, ordinary, linear, nonlinear diff egyenlet. mi az, hogy merevség, mi az a Jakobinus, milyen iterációs eljárások vannak.
van egy PDF-em, ami tele van ilyenekkel és a negyedét sem értem.
:) jopofa kerdest tettel fel. Hetkoznapian megfogalmzva a diferencial egyenletek olyan egyeneltek amiknek amegoldasai fugvenyek.
Klasszikus pelda a halasto pelda. Van egy tavunk, amiben halak vannak, a halakat etetjuk es igy nonek es jol erzik magukat, ha jol erzik magukat akkor szaporodnak, de ha tul sokat szporodnak, akkor sokan lesznek es igy nem tudnak tovabb szporodni. Nyilvan van egy olyan halsurusege a tonak ahol a legjobban szaporodnak.
Tehat le kell halaszni oket. Milyen mertekben kell lehelaszni a tavat ahhoz, hogy a szaporoda smindig a leheto legnagyobb legyen es igy a leheto legmagasabb hozamot erjuk el a toban?
Ez a feldat es ehez hasonlo feladat gyakorlatilag mindennapos a kozgazdasag tudomanyban is.. de meg egy egyszeru halasto gazdaja sem lehet meg diffegyenlet nelkul :)
