1. Nem. Tudjuk (Littlewood 1914), hogy van olyan c>0 konstans, hogy minden x0>0 esetén
(1) van x>x0, hogy pi(x)-li(x) > c (√x/log(x)) logloglogx
(2) van x>x0, hogy li(x)-pi(x) > c (√x/log(x)) logloglogx
Tehát pi(x)-li(x) az egészeken végtelen sokszor előjelet vált, vagyis végtelen sokszor -1 és 1 közé esik. Az ilyen x-ekre pi(x)-li(x) sokkal kisebb, mint pi(x)-(li(x)-li(√x)/2), hiszen az utóbbi ilyenkor li(√x)/2 + O(1), nem pedig O(1).
2. Megkockáztatom, bár nem tudom, hogy az (1) és a (2) kilengés gyakori, tehát a legtöbb x-re
|pi(x)-li(x)| > c (√x/log(x)) logloglogx
Mindenesetre az ilyen x-ekre a li(√x)/2 nem sokat változtat a pi(x)-li(x) különbségen, hiszen li(√x)/2 sokkal kisebb a jobb oldalnál.
3. Persze azt is tudjuk (Rubinstein-Sarnak 1994), hogy az {x:pi(x)>li(x)} halmaz logaritmikus sűrűsége igen kicsi (kb. 0.00000026), tehát a li(x)-et csökkenteni kell, hogy ez a sűrűség a plauzibilisen várható 1/2-hez közelebb legyen. Ugyanakkor nem hiszem, hogy ez a csökkentés egy olyan egyszerű függvénnyel megadható lenne, mint a li(√x)/2, hiszen a pi(x)-li(x) különbség a Riemann-zeta gyökeiből és az x-ből fejezhető ki a szokásos módon (ebből jön ki az említett logaritmikus sűrűség is), amely kifejezéssel (ti. a fellépő véges vagy végtelen összeg tagjaival) a li(√x)/2 nem tud konspirálni.
Kérlek, küldd el újra, mert a freemail törölte a fiókomat, és csak most aktiválta újra, amikor beléptem. Amúgy nem szeretek emailezni, jobb nyilvánosan megbeszélni a dolgokat.
Igen, tehát nem lineáris függvény. Én egyébként nem a pi(x)-ről beszéltem, hanem a szomszédos prímek közötti átlagos távolságról (a decimális számjegyek függvényében), ami aszimptotikusan lineáris.
Bizonyára így van, viszont nem vizsgálható a valódi tulajdonsága.
Ez így legfeljebb szubjektív véleményként érvényes. Amikor a doktori témavezetőmnek mondogattam, hogy valami ezzel vagy azzal a módszerrel nem jön ki, akkor mindig rámszólt, hogy majd akkor hiszi el, ha bizonyítom, hogy úgy nem jön ki. Nehéz lenne matematikailag megfogalmazni és bizonyítani azt az állítást, hogy a tizes számrendszer haszontalan a prímek valódi tulajdonságainak megismerésében.
Történetileg nem így volt, de nagyon is elképzelhető lenne, hogy valaki a prímek sűrűségeloszlását 10-hatványok szerinti táblázatokból vegye észre. Abban persze igazad van, hogy a tizes számrendszer nemigen játszik szerepet a prímszámok vizsgálatában, és a számelmélészek úgy általában sem tulajdonítanak nagy jelentőséget a tizes (vagy bármilyen más) számrendszernek. Ugyanakkor vannak nehéz kérdések prímszámokról, amik a számjegyekhez köthetők, és előrébb viszik a megismerést. Pl. Maynard nemrégiben bizonyította, hogy végtelen sok prímszám van, ami egy adott számjegyet (pl. a 7-est) nem tartalmaz (a decimális felírásában).
Közelítésnek természetesen megfelel
Igy van. Azt kellett volna mondanom, hogy aszimptotikusan arányosan növekszik: az n-jegyű prímek közötti átlagos távolság n-nel osztva ln(10)-hez tart (ez a prímszámtétel következménye).
Az eloszlás természetesen teljesen független attól, hogy milyen számrendszerben számolunk, és a tízes számrendszernek semmi különleges szerepe nincs. Azért abban szokás bemutatni, mert azt mindenki érti.
A 10-hatványok alkalmasak a laikusok számára a prímszámtétel bemutatására. Pl. a 10-jegyű prímszámok közötti átlagos távolság kb. 22.3, a 100-jegyű prímszámok közötti átlagos távolság kb. 229.5, az 1000-jegyű prímszámok közötti átlagos távolság kb. 2301.8. Látható, hogy a jegyek számával arányosan nő az átlagos távolság, és az arányossági tényező nem más, mint ln(10), azaz kb. 2.3025851.
Nem értem a kérdést. A prímeket nem a 10 hatványainak megfelelően szokták vizsgálni (bármit jelentsen is az). A számelméletben a pozitív egészekre nem úgy gondolunk, mint decimális számokra, mint ahogy a racionális számokra sem úgy gondolunk, mint véges vagy periodikus végtelen tizedes törtekre. A tizes (vagy a kettes) számrendszer egy kényelmes jelölésmód, hogy tudjunk beszélni a számokról, de a bizonyításokban nem szoktak részt venni.
Igen, ez is szép eredmény, bár én személy szerint nem szeretem a számjegyes problémákat. Egy másik, viszonylag új Maynard-tétel, hogy ha r egy n-edfokú algebrai egész, továbbá m/n legalább 3/4, akkor végtelen sok prím van, ami NormQ(r)/Q(x1r+x2r2+...+xmrm) alakú, ahol x1,...,xm racionális egészek. Ez jól rezonál Friedlander-Iwaniec és Heath-Brown tételeire, amik szerint végtelen sok x12+x24 illetve x13+2x23 alakú prím van, ahol x1 és x2 racionális egészek. Ha r egy racionális egész n-ik gyöke, akkor m/n >= 15/22 is elég.
Sok áttörés volt az utóbbi években prímszámokkal kapcsolatban. A legfontosabb talán annak bizonyítása, hogy a szomszédos prímek közötti távolság végtelen sokszor korlátos (konkrétan legfeljebb 246). De megdőlt az ismert nagy prímhézagokra vonatkozó alsó becslés is (ami Erdős kedvenc megoldatlan problémája volt). Egy harmadik áttörés, hogy a Möbius- és a Liouville-függvény nagyon kis intervallumokban is oszcillál (többnyire).
A titkos és nyílt kulcs kicsit bonyolultabb az RSA-nal, illetve ma már 200-jegyű számokat a gyakorlatban könnyen tudnak faktorizálni (asszem), de a lényegen nem változtat.
Most, hogy testközelbe került számunkra is a digitális aláírás, csak csendben bátorkodom megjegyezni, hogy az efféle prímtesztelő algoritmusoknak van egy kicsi - ha nem is világrengető - jelentősége. Ugyanis az egyik titkosító eljárás (RSA) éppen azon alapul, hogy van két nagy - kb. 100 jegyű - prímszám (ez a titkos kulcs), illetve ezek szorzata (ez pedig a nyilt kulcs). A lényeg, hogy a szorzatból nem következtethetünk a tényezőkre, tehát - elvileg - feltörhetetlen a nyilt kulcs. Még a lent említett algoritmusok sem tudnak vele mit kezdeni, hiszen csak azt tudják megállapítani, hogy nem prím, amit úgy is tudtunk. az igazi "áttörés" éppen a tényezőkre bontás lenne, ami persze az RSA "halálá"-t jelentené.
Az AKS-algoritmus nem kompjuter-zsonglőrködés, hanem egy fontos elméleti hézag betöltése volt. Ugyanis már több évtizede birtokunkban volt olyan algoritmus, amely a gyakorlatban jóval gyorsabban működik, csak annak bizonyitása hiányzik mind a mai napig, hogy azok tetszőlegesen nagy szám esetén is gyorsan fognak működni. Jegyezzük meg, hogy a "tetszőlegesen nagy szám" fogalma nem gyakorlati fogalom. A gyakorlatban mindig "kis számokkal" dolgozunk. Az AKS-algoritmussal ténylegesen gazdagodott a tudásunk a primekről és az egész számokról.
A primek eloszlásával kapcsolatban nagyon-nagyon sok tétel és egyaránt sok még bizonyitatlan megfigyelés vagy sejtés gyűlt össze. Ezer oldal is kevés lenne ezek taglalására. A két leghiresebb eredmény talán a primszámtétel, illetve Dirichlet tétele a primek számtani sorozatokban való eloszlásáról. Az előbbi azt mondja ki, hogy az n. primszám kb. n.ln(n) nagyságú (a két mennyiség százalékos eltérése az n növekedtével elenyészik), a másik pedig azt mondja ki, hogy a primeknek egy adott szám szerinti ún. redukált maradékai egyenletesen oszlanak el. Az utóbbit megvilágitandó nézzük a primszámok utolsó három számjegyét a tizes számrendszerben. A legutolsó számjegy persze (két kivételtől eltekintve) csak az 1,3,7,9 lehet, vagyis az utolsó három számjegy (két kivételtől eltekintve) 10.10.4=400-féle lehet (pl. 651 vagy 027). Ha statisztikát készitenénk, akkor azt találnánk, hogy mind a 400 lehetséges háromjegyű végződés végtelen sokszor előfordul, mégpedig mindegyik pontosan 1/400 gyakorisággal. Ezek a több mint egy évszázada bizonyitott tételek inditották útjára az analitikus számelméletet. Az interneten sok összefoglalót találsz a témáról.
A második bekezdést nehezen értelmezem. Az ilyesfajta szétválasztást (ancient, algebrai és calculus) szerencsétlennek tartom, mert önkényes. Továbbá a mai matematika nem hogy nem vetné ki a régiek tudományát, hanem magába foglalja, kiteljesiti azt. Sok mai eredményt megértene Euklidész és gyönyörködne benne. Hogy mi mond keveset és mi mond sokat, azt majd eldönti az idő. Hiszek abban, hogy ami a matematikában fontosnak bizonyul, annak fontos helye van a tágabb értelemben vett megismerésben is. Egy fizikusnak például tanulságos lehet, ha egy számára fontos teret leiró egyenletet egy kevésbé szokványos számkörben vizsgál. A primszámok különösen alkalmasak erre a célra, mert belőlük származtathatók olyan véges sok számból álló számkörök, ahol a hagyományos alapműveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) elvégezhetők és rendelkeznek a szokásos tulajdonságokkal. A fizikus egyszerűen feljegyezheti a különböző véges számkörökben az egyenlet megoldásainak a számát és ebből visszakövetkeztethet annak a térnek a geometriájára, amit az egyenlet leir. Ily módon új felismerésekre is szert tehet, hasonlóképpen, mint egy gondolatkisérlet segitségével.
OK, akkor visszavonom a teológiai jelzőt, ámbár Erdős gyakorló platónistaként élt teológiai fogalmakkal (pl. sokat beszélt a Könyvről, ami minden tétel legszebb bizonyitását tartalmazza). A primszámok eloszlásáról, azoknak a valószinűségi jellegéről sok mindent tudunk és sok minden homályos. Amennyire megértünk egy ilyen tulajdonságot, annyira megértjük azt is, ami mögötte van, nemigaz? Mindehhez persze világos kérdések felvetésére van szükség. Ilyen világos kérdés volt az is, hogy eldönthető-e polinomiális időben egy természetes számról annak prim volta.
Egyébként sok konkrét, egyszerűnek látszó struktúrából előbújnak rejtélyes számsorozatok. Igy pl. amiként a természetes számokból előbújnak a primszámok, úgy a Riemann-zeta függvényből előbújnak annak nullhelyei, vagy egy kifeszitett dobhártyából annak lehetséges rezgésfrekvenciái (tehát hangjának összetevői). Ezek a számsorozatok sokszor nagyon is összefüggnek egymással, pl. a primszámok meghatározzák a Riemann-zeta gyökeit, de a Riemann-zeta gyökeiből is tökéletesen rekonstruálhatók a primszámok. Igy frappánsan azt mondhatjuk, hogy a primek mögött a Riemann-zeta húzódik meg, a Riemann-zeta mögött pedig a primek.
Lehet, de matematikai kérdésként mégis inkább az fogalmazható meg, hogy miként oszlanak el, milyen gyors algoritmus létezik a felismerésükre, stb. A Te kérdésfeltevésed teológiai jellegű.
