A leheto legaltalanosabban... Vegyel egy kompakt teret es annak egy zart reszhalmazat, vedd azt a fuggvenyt aminek az erteke egy pontban a reszhalmaztol valo tavolsaga. Ez a halmaz folytonos es pontosan a zart reszhalmaz alkotja a nullhelyet. Ebbol az egyszeru eszrevetelbol meg magasabb dimenzioban is minden kovetkezik.
Miért ez a definíciója az információs dimenziónak: szumma pi*ln(pi)?
A helyes definíció H = sum pi*log2(1/pi), a neve pedig (Shannon-féle vagy információelméleti) entrópia. Itt log2 a 2-es alapú logaritmus jelöli és pi pedig egy jel (pl. a magyar nyelv egy betűjének) relatív gyakorisága. Intuitíven log2(1/pi) a megfelelő jel információtartalma, tehát H a jelek átlagos információtartalma. Ezt most kifejtem jobban.
Shannon észrevette, hogy egy tipikus nagy N hosszú jelsorozat (pl. egy értelmes magyar szöveg N betűből) relatív gyakorisága kb. 2-N*H, ami azt jelenti intuitívan, hogy minden jel nagyjából H bitnyi információt képvisel (az N hosszú jelsorozatban). Most képzeld el, hogy van egy zajmentes csatornád, amin egységnyi idő alatt átlagosan C bitnyi információt tudsz átküldeni. Ezt a C-t Shannon a csatorna (információátvivő) kapacitásának nevezte el. Ekkor a fentiek fényében az várható, hogy bármilyen ügyesen is kódolod át bitsorozatokká valahogyan a jelsorozatokat (az átkódolás fogalmát precízen definiálva), a fenti csatornán egységnyi idő alatt átlagosan legfeljebb csak C/H jelet tudsz átküldeni. Shannon bizonyította precízen, hogy ez így van, de azt is, hogy a C/H ráta alulról tetszőlegesen megközelíthető, ha ügyesen csináljuk az átkódolást.
Shannon tovább ment és zajos csatornákra is definiálta a kapacitás fogalmát. Nevezetesen a fentiek alapján ha egy zajmentes csatornán egységnyi idő alatt átlagosan egy jelet küldünk át, akkor a bemenőjel H entrópiája mindig legfeljebb C, de a C-t tetszőlegesen meg tudja közelíteni alulról (ha ügyesen kódoljuk a jeleket a csatorna számára). Más szóval az egységnyi idő alatt átküldhető információmennyiség (az összes lehetséges kimenő jel entrópiájának legkisebb felső korlátja) éppen a zajmentes csatorna kapacitása. Zajos csatornára Shannon ezt a definíciót a következőképpen terjeszti ki. Minden lehetséges módon jeleket küldünk át a csatornán és megnézzük, a bemenőjel H entrópiája mennyivel nagyobb a zaj Z entrópiájánál, ahol a zaj a kimenőjel és a bemenőjel különbsége definíció szerint. A két entrópia H-Z különbségének van egy legkisebb felső korlátja, ez a zajos csatorna (információátvivő) kapacitása definíció szerint. Zajmentes csatornán persze Z=0 és visszakapjuk az előbbi definíciót. Vegyük észre, hogy a definíció miatt egy C kapacitású csatornán a zaj Z entrópiája mindig legalább max(0,H-C). Na most Shannon belátja, hogy egy C kapacitású zajos csatorna lényegében egy azonos C kapacitású zajmentes csatornaként használható megfelelő kódolással. Pontosabban ha egy tetszőleges jelet akarunk átküldeni a csatornán, akkor H-val jelölve az átküldendő jel entrópiáját, ügyes kódolással a Z zaj entrópiája tetszőleges közel vihető a max(0,H-C)-hez; ez alá pedig, mint láttuk, sosem vihető.
Itt van egyébként Shannon eredeti cikke, igazi mestermű.
egy mutáns: Tfh. az inga súrlódásmentesen mozog egy papírlap fölött, és a végén van egy ceruza, ami a papírra rajzolja az útját. Ekkor, ha nagyon ügyesen lököm meg a tekegolyót, akkor elérhetem, hogy ugyanoda érjen vissza, ugyanazzal a sebességgel, amivel meglöktem.
Nem kell ügyesen meglökni, a súrlódás nélküli gömbinga mindig ellipszist ír le. Amiről te beszélsz az valószínűleg egy két dimenziós oszcillátor volt. Ennél, ha a "rugóállandók" azonosak akkor kört ellipszist vagy egyenest, ha különböznek akkor pedig Lissajous-görbét (Liszazsu) kapsz, ami zárt ha a rezgésidők hányadosa racionális. (Egy befogott rúd tényleg tud így viselkedni, de egy gömbinga nem.) Ebben a rendszerben viszont sosem jelenik meg a káosz, hacsak nem gerjesztett rendszer.
Az a gond, hogy egy laikus nem érti, mi az hogy fázistér meg dinamikai rendszer.
Tökéletesen igaz. Biztos elfogult vagyok, de azt gondolom, hogy egy laikus (nem matematikus) számára mechanikai példákon keresztül legkönnyebb a káosz és a fraktálok kapcsolatának megértése. Ezt a fázistér nélkül nehezen tudom elképzelni. Sajnos nincs királyi út!
A gondolom matematikusok vagytok, hát ez nekem egy kicsit elvont, de azért lehet követni. Van is egy kérdésem. Ez a fraktáleloszlásokkal kapcsolatos: Miért ez a definíciója az információs dimenziónak: szumma pi*ln(pi)? Gondolom ennek a gyökerei valahol az információelméletben gyökereznek mert tudtommal ott is van egy Shanon-entrópia nevű az információtartalmat mérő mennyiség.
Asszem ez egy hamis állítás, teljes általánosságban nem igaz.
Tényleg nem igaz teljes általánosságban. Valójában könnyen belátható, hogy egy egyenesnek minden zárt részhalmaza (tehát pl. a Cantor-halmaz is) előáll egy alkalmas folytonos görbével való metszetként, a nem zárt részhalmazai pedig nem. De sima görbékre teljesen helytálló volt, amit mondtam.
Azt is érteni vélem, hogy miért nem lehet megszámlálhatatlan
Asszem ez egy hamis állítás, teljes általánosságban nem igaz. De sima (végtelen sokszor differenciálható) görbék esetében mindenképpen igaz (egy inga pályája pedig ilyen, minden pillanatban tudunk beszélni az inga sebességéről).
Bizonyítás. Ha a t valós paraméterrel írod le a görbét és a teljes szakasznyi metszeteket kizárjuk, akkor a metszéspontokhoz tartozó t paraméterek izolált pontokból álló S halmazt alkotnak. Ezen azt értsd, hogy ha t az S-ben van, akkor van egy r(t)>0 szám, amire a (t-r(t),t+r(t)) intervallum metszete az S-sel az egyelemű {t} halmaz. Az r(t) létezése azonnal kijön a differenciálhatóságból (a t-nél tekintsd az első nemnulla deriváltat, más szóval vedd a koordináták Taylor-sorának első nemnulla tagját). És most minden S-beli t-re válassz egy q(t) racionális számot a (t-r(t)/2,t+r(t)/2) intervallumból. Állítom, hogy a q:S->Q leképezés (ahol Q a racionális számok halmaza) injektív. Ugyanis ha t és t' különböző S-beli számok, akkor |t-t'| >= max(r(t),r(t')) az r:S->R függvény választása miatt, vagyis |t-t'| >= r(t)/2+r(t')/2, ellenben |t-q(t)|<r(t)/2 a q:S->Q függvény választása miatt, tehát |t'-q(t)|>r(t')/2 a háromszög-egyenlőtlenség szerint. Ugyanakkor |t'-q(t')|<r(r')/2 a q:S->Q függvény választása miatt, tehát q(t) nem egyenlő q(t')-vel. Tehát az S-et injektíven beleképeztük egy megszámlálható halmazba (magyarán a metszéspontokat felcímkéztük különböző racionális számokkal), így S is megszámlálható.
De ez vajon miért zárja ki a fraktált?
Egy megszámlálható halmaz Hausdorff-dimenziója nulla, mert minden pozitív dimenziós mérték szerint nulla a mértéke: az n. pontot lefeded epsilon/2^n mértékű intervallummal és látod, hogy a teljes ponthalmaznak van epsilon-nál kisebb mértékű halmazzal való fedése.
Tényleg: meg lehet mondani egyszerűen, mi aza Hausdorf dimenzió?
Veszed azon d-k halmazát, amire a halmazod d-dimenziós Hausdorff-mértéke nulla, ezen d-k infimuma a Hausdorff-dimenzió. A d-dimenziós Hausdorff-mérték definíciója kicsit kacifántosabb (de hát a szokásos Lebesgue-mérték definíciója is az), erről olvashatsz a wikipédiában vagy az analízis könyvekben.
Mondjuk, azt zárjuk ki, hogy a metszet tartalmaz egyenes szakaszt, mert ez a felvetettem példában nyilván valami spec eset. Inkább azt gondolom, hogy megszámlálhatóan sok a pontja.
Azt is érteni vélem, hogy miért nem lehet megszámlálhatatlan (gondolom azért, mert a pontok száma csak kisebb lehet a körbelendüléseknél, az meg megszámlálható)
De ez vajon miért zárja ki a fraktált? Mert egy fraktál pontjai megszámlálhatatlanok?
Vagy mert egyenesen eleve nem lehet fraktál? Mert csak egy a dimenziója?
Bocs, ha zavaros dolgokat kérdezek, igazándiból nem is tudom, mi az a fraktál. Egyszer az Élet és Tudományban olvastam a Skócia partvidékéről, annak nyomán alakult ki bennem valami olyasmi kép, hogy egy olyan alakzat, aminek a hossza függ a hossz mértékegységétől, ebből kijött valami a hossz és a terület közötti tört dimenzió.
Tényleg: meg lehet mondani egyszerűen, mi aza Hausdorf dimenzió? Az, amit az előbb pedzettem?
És akkor jött valami olyan mondat, hogy ha a mozgás nem periódikus, hanem kaotikus, akkor ezek a pontok fraktált alkotnak.
Egy folytonos görbe és egy egyenes metszéspontjai sosem alkotnak fraktált. Ugyanis vagy megszámlálható sok pontból fog állni a metszet vagy pedig tartalmazni fog egy egyenes szakaszt. Az előbbi esetben 0 a Hausdorff-dimenzió, az utóbbi esetben pedig 1. Szóval ez így biztos tévedés. Fraktált azok a kezdőállapotok adhatnak (a fázistérben, nem pedig ahol a mozgás történik) amik egy adott módon viselkednek (pl. korlátos a belőle származó mozgáspálya vagy hasonló).
Én egyszer neptun77 megközelítéséhez hasonló megfogalmazást olvastam valahol egy hajó árbocának a mozgásáról. Átfogalmazva egy közélen lógó ingára (legyen tekegolyó) kb. a következőt értettem meg:
Tfh. az inga súrlódásmentesen mozog egy papírlap fölött, és a végén van egy ceruza, ami a papírra rajzolja az útját.
Ekkor, ha nagyon ügyesen lököm meg a tekegolyót, akkor elérhetem, hogy ugyanoda érjen vissza, ugyanazzal a sebességgel, amivel meglöktem. Ekkor egy ellipszist kapok a papíron. A golyó tovább mozog, mindig ugyanazt az ellipszist kapom.
(Ha van súrlódás, akkor egy spirálszerűen a nyugalmi helyzet felé kanyarodó görbét, mely, mondjuk, végtelen idő után megáll a nyugalmi pontban. Ha tapadási súrlódás is van, akkor a nyugalmi helyzethez közel. )
Namost ne legyen súrlódás, folytatva az ellipszises esetet. Ha még ügyesebben lököm meg, akkor néhány "kör" megtétele után kerül ugyanabba a pozicióba, ahonnan indult, és ugyanakkora sebességgel.
Ekkor a mozgása szintén periódikus, de több kör megtétele tartozik egy periódushoz, de ezután már ugyanazon görbén jár.
Namost: nézzük ezen görbe pl. egy a papjron felvett x tengellyel vett metszeteit. Periódusos mozgásnál ez véges sok pont.
Nem periódusos mozgásnál pedig végtelen.
(Gondolom, hozzá kéne tenni, hogy találhatunk ilyen x tengelyt.)
És akkor jött valami olyan mondat, hogy ha a mozgás nem periódikus, hanem kaotikus, akkor ezek a pontok fraktált alkotnak. No, ezt már nem értettem, de van-e ehhez mondanivalótok?
(Még azt is mondta, hogy igen nehéz elkülönjteni, hogy vajon egy igen sok körös periódusról van-e szó, vagy valódi kaotikumról.)
Gerko73 hozzászólását szeretném kiegésziteni. Az ő megközelítése elég "matematikus" volt. Az egyém meg kissé "fizikus" lesz. Igazából nem is válaszolni szeretnék, hanem mutatni egy utat, amin el lehet indulni a fizikai káosz megértése felé. Akit követi, megleli a választ a kérdésre. (bár elég kitartónak kell lennie!) A fraktálok általában - de nem kizárólagosan - egy dinamikai rendszer fázisterében jönnek létre akkor ha a rendszer kaotikus mozgást végez és ezt a mozgást megfelelő módon ábrázoljuk. Na, ez szép. 1. Első tehát a fázistér fogalmának megértése. 2. mozgás a fázistérben. Példák: harmonikus oszcillátor, inga, pattogó labda... először súrlódás nélkül 3. Ugyanezek súrlódással 4. fixpontok a fázistérben és típusaik (elliptikus, hiperbolikus fixpontok, attraktorok) 5. stroboszkópikus metszet, Poincaré-metszet, leképezés (itt jön be az a transzformáció amiről gergo73 beszélt) 6. A leképezések tulajdonságai, fixpontjai. Mi felel meg a metszeten a periodikus mozgásoknak... (Eddig még nem volt káosz, de ezt mind érteni érdemes!!!) 7. Gerjesztett mozgások és ábrázolásuk stroboszkópikus-metszeteken. Határciklus attraktorok. 8. Egy kaotikus rendszer vizsgálata (esetleg ha az ember tud programozni szimulációja) pl.: lökdösött rotátor vagy az oszcillátor (inkább az előbbi) 9. Kaotikus sáv foglama, kaotikus és nem kaotikus mozgásokhoz tartozó kezdeti állapotok. 10. Kaotikus rendszerek jellemzői: Lyapunov-exponensek, topológikus-entrópia... 11. Fraktákdimenzió, sovány fraktálok, kövér fraktálok... és elértünk az alapokhoz :)
A kapcsolat a következő. Vedd a síknak egy T transzformációját (pl. adott szöggel való elforgatás az origó körül) és vizsgáld meg, hogy a sík mely pontjait tudod kirepíteni az origótól tetszőlegesen messzire a T sokszori egymás utáni alkalmazásával. Ha T egy origó körüli forgatás, akkor persze nincs ilyen pont, hiszen minden pont ugyanolyan távol marad az origótól a T alkalmazása után, mint eredetileg volt. Ha T egy nemnulla vektorral való eltolás, akkor persze minden pont kitolható lesz tetszőlegesen messzire: csak elég sokszor kell eltologatni azzal a nemnulla vektorral. Na most ez két végletes példa, nagyon sok egyszerűen megadható T transzformáció esetén nagyon bonyolult lesz azon pontok H halmaza, amik kirepíthetőek tetszőlegesen messzire a T sokszori egymás utáni alkalmazásával. Egy pont és egy hozzá tetszőlegesen közeli másik pont teljesen eltérően viselkedhet ebből a szempontból. Ezt röviden úgy mondjuk, hogy a T által meghatározott diszkrét dinamikai rendszer kaotikus (ennél kicsit technikaibb a definíció, de ez most nem lényeges). Na most sok ilyen esetben, amikor T egy kaotikus dinamikai rendszert ad meg, a H komplementere (tehát azok a pontok, amik képei a T egymás utáni alkalmazásával csak korlátozott távolságra juthatnak el) egy fraktál (egy ún. Julia-halmaz).
Tehát röviden sok szép fraktál egy kaotikus rendszerből származtatható: a rendszerben speciálisan viselkedő pontok alkotják a fraktált. A meglepő az, hogy egyszerűnek tűnő rendszerek viselkednek nagyon bonyolultan: ez mérhető le a belőlük származtatható fraktál komplexitásán.
Sziasztok,
van itt még valaki?
engem érdekel a káosz, én is most ezt a könyvet olvasom, de már nem vagyok kezdő a témában.
Régebben a Tudomány című újságban volt egy sorozat és ott szerettem bele.
még programokat is írtam...
A tetkó se rossz, én faliképeket akarok varrni, folttechnikával :-)
Szerintem ez eleg lenyugozo, es mellesleg a mar emlitett haldoklo topic-bol valo. Ott meg rengeteg fractal-os link-et talalsz.
En sem ertem, hogy az a fractal-ok miert nem kapnak nagyobb erdeklodest errefele, de nem hiszem, hogy a bonyolultsag lenne az oka. Van meg ezen a forumon egy-ket igen "huzos" topic.
"Fraktált tetoválni - milyen bizarr? De míg élek megteszem!"
Szerintem mar igy is tele vagy fractal-lal.
:-)
Esetleg kezdj el irni valamit az olvasmanyaid alapjan, hatha az felkelti az emberek erdeklodeset.
Siralmas, hogy senki se foglalkozik ezzel az érdekes tudományággal. Az emberek már eleve elriadnak az olyan dolgoktól, ami egy kicsit is bonyolult. Pedig ebbe olyan sok érdekes, misztikus dolog van.
Elefánt:
Ha ismersz olyan websitot, ahonnan mozgó vibráló, stb fraktálokat, plazmákat lehet letölteni, kérlek írd meg, köszi.
Én egyébként nagyon az alapoknál vagyok még. Most a "Káosz" című könyvet olvasom, by James Gleick.
Fraktált tetoválni - milyen bizarr? De míg élek megteszem!
"Tudja valaki mik azok a fraktálok?
??? Miért nem találkoztam még ilyen témával?"
Sajnos elegge sullyedoben van egy topic Fraktal ugyben:
Fórum >> Tudomány >> Fraktálok Törtdimenziók Mandelbrot
Szoval ezzel nem a kedvedet akartam elvenni, hanem epp ellenkezoleg hoszabb index-i letet kivanok neked.
Sajnos erdemben nem sokat tudok hozzaszolni a temahoz, de azert itt leszek, figyelek es tamogatok.
Persz azert fejlodom is, hisz eppen itt van mellettem az alapmu:
Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature.
Sajnos meg nem alltam neki, de majd igyeszem.
Na átugrottam kultúra-zene topicokból, gondolván eszmét-cserélek ezen a téren is.
Tehát mi is az a Káosz-elmélet?
Tényleg egyesíthető az összes tudományág ezzel az elmélettel, és minden kérdésre választ adhat egy "egyszerű, de végtelenségig" bonyolult folyamategyenlet?
Tudja valaki mik azok a fraktálok?
??? Miért nem találkoztam még ilyen témával?
Szóval, aki el akar rúgaszkodni a hagyományos tudományoktól és egy kicsit álmodozni akar egy Mandelbrot halmazba való zuhanás közben, az írjon ide.
