igazad is van, meg nem is. A transzcendens szamok letezeset Liouville igazolta 1844-ben, de az eredmenyt csak 7 evvel kesobb publikalta. Az o bizonyitasa konstruktiv volt es diofantikus approximaciot hasznalt. Cantor szamossagokra alapulo bizonyitasa 1873-ban szuletett, ugyanabban az evben, amikor Liouville az e transzcendens voltat kimutatta. A pi-rol csak 1882-ben igazolta Lindemann, hogy nem algebrai. Ezek a fejlemenyek tehat joval Euler halala utan tortentek.
Egyebkent en ugy gondolom, hogy barki adta is a 'transzcendens' jelzot (valoszinuleg Lioville), az nem az adott szam misztikus voltara, termeszetbeni gyakori elofordulasara utalt (barmit jelentsen is ez utobbi), hanem azt a puszta tenyt, hogy nem volt vilagos, ezek egyaltalan leteznek-e es ha igen, megjelolhetunk-e egy ilyen szamot valamilyen epkezlab modon.
Azt, hogy majdnem minden valós szám transzdencens, csak Cantor nyomán tudjuk. Egész pontosan most nem tudom ugyan, de biztos vagyok benne, hogy az , hogy az e és a pi nem algebrai, már korábban ismert volt, az e-t talán Euler is tudta. Ez lehet az oka a transzcendens elnevezésnek, az immagináriushoz hasonlóan pusztán a korabeli szemlélet.
Az biztos, hogy kivulrol kozelited meg a matematikat, tehat nem matematikuskent. Ez persze egyaltalan nem baj. Az en meglatasomban mindenesetre keptelenseg szetvalasztani a matematikat ket reszre, az egyiket talalmanynak, a masikat felfedezesnek tekintve. A pi-t vagy az e-t nem tudod pusztan empirikusan megfogni; attol kezdve, hogy kezded leirni a pi jegyeit, 3.14..., mar matematikuskent cselekszel; pontos, absztrakt ertelme van Szamodra, hogy mit jelentenek az egyes jegyek 3,1,4, majd ezek egyutt, 3.14stb. De barmilyen mas uton is ertelmezed a pi-t vagy az e-t, az ertelmezes maga mindig matematikai.
Ha azon az allasponton vagy, hogy az e es a pi itt vannak mindenkeppen, akkor ugyanez vonatkozik a matematika teljes egeszere.
A matematikai elnevezeseket felrevezeto azonositani a koznapi jelentesukkel. Az e vagy a pi legalabb olyan konkret mennyisegek (ha nem konkretabbak), mint peldaul az az 5 darab komplex szam, ami kielegiti az x5-5x-2=0 egyenletet. Hasonloan a 2 negyzetgyoke (ami egy irracionalis szam) egyesek szamara joval megfoghatobbnak tunhet, mint mondjuk a -103, ami nem csak racionalis, de meg egesz is.
Azt mindenesetre jo tudni, hogy halmazelmeleti ertelemben nem az a ritkasag, ha egy szam transzcendens, hanem az, ha algebrai. Mas szoval a pi es az e egyediseget egyaltalan nem az adja, hogy ok transzcendensek.
Kedves palozc, csak egy dologban szeretnelek helyesbiteni.
A transzcendens szam fogalmanak semmi koze a misztikus transzcendenciahoz; a pi-t vagy az e-t nem azert nevezzuk transzcendensnek, mert olyan gazdagon elofordulnak a termeszetben. Itt egy konkret matematikai besorolasrol van szo: egy (komplex) szamot akkor hivunk transzcendensnek, ha nem algebrai, azaz nem gyoke egy nemnulla egesz egyutthatos polinomnak (egy anxn+an-1xn-1+...+a0 alaku kifejezesnek, ahol az ai egyutthatok egesz szamok es an nem nulla).
Igy peldaul az Altalad emlegetett aranymetszes szama (golden ratio) algebrai (tehat nem transzcendens), hiszen gyoke az x2-x-1 polinomnak. Az e es a pi viszont nem gyoke semmilyen egesz egyutthatos polinomnak (ezt kb. masfel evszazada sikerult bizonyitani), es ezt a tenyt fejezzuk ki roviden azzal, hogy ok transzcendensek.
Peldaul a pi transzcendens voltabol kovetkezik, hogy nem lehet ot korzovel es vonalzoval az egysegszakaszbol megszerkeszteni, vagyis hogy az okori gorogok altal megalmodott kornegyszogesites nem valosithato meg euklideszi szerkesztessel. (Nem nehez ugyanis megmutatni kis koordinatageometriat hasznalva, hogy az egysegkorbol megszerkesztheto hosszusagok mind algebrai szamok, raadasul mindegyiknek a foka 2-hatvany.)
Mondjuk azt is kell latni, hogy a hatvanysornak van pozitiv nullhelye. Persze ez csak reszletkerdes, kozvetlenul lathato ugyanis, hogy x=2 eseten a hatvanysor negativ, mig x=0 eseten pozitiv.
Ellenben a kor teruletenek vagy keruletenek ertelmezesehez nincs szukseg az integral fogalmara, hiszen konvex alakzatrol van szo. Egyszeruen mondhatjuk azt, hogy a terulet a korbe irhato sokszoget teruletenek legkisebb felso korlatja (ennek letezeset egy axioma biztositja kozvetlenul), a kerulet pedig a korbe irhato sokszogek keruletenek legkisebb felso korlatja. Vagy mondhatjuk ugyanezt kore irt sokszogekkel es legnagyobb also korlattal. Termeszetesen a (konvex) sokszogek keruletet vagy teruletet egyszeru ertelmezni (az utobbit peldaul haromszogekre bontassal), ahhoz nincs szukseg semmifele analizisre.
Tehat en meg mindig ugy erzem, hogy a pi-re a legtermeszetesebb definicio a legegyszerubb.
Ha mar ragaszkodunk a vegtelen sorokhoz, akkor a hatvanysornal egyszerubb definicio az, hogy
pi/4=1/1-1/3+1/5-1/7+-... vagy
pi^2/6=1/1+1/4+1/9+1/16+...
Egyebkent nem talalom egyszerunek a pi-t a koszinusz hatvanysoraval ertelmezni. A hatvanysor ertelmehez ugyanis fel kell epiteni az analizis egy jelentos reszet, akkor pedig mar egyszeruen azt is mondhatjuk, hogy a pi az egysegkor terulete, vagy az egysegkor keruletenek fele.
Szvsz ez igy egyszerubb. Hisz mi is kell hozza? Kell egy R szamtest, es ilyen elemu a sorozatok es sorok definicioja. Plusz esetleg egy konvergencia-kriterium, hogy az adott sor konvergens-e.
Ha viszont terulettel vagy kerulettel akarom megfogni a dolgot, akkor meg tobbet kell felepiteni, hisz ezek ertelmezesehez (s kiszamitasasahoz) szukseg van az integral fogalmara is. Az integralhoz szukseges a diff.hanyados, amihez kell a fuggvenyek folytonossaga, diff-hatosaga. Ezek pedig a vegtelen sorokra epulnek.
Szoval ha precizek akarunk lenni, akkor a vegtelen soros megoldas a legegyszerubb. :-)
Ugy erted, hogy Ludolf "felfedezte" a pi nehany ujabb tizedesjegyet? Szerintem a pi-t csak egyszer kellett felfedezni, es ez valamikor az okorban megtortent. Persze most csak a szo jelentesen vitatkozunk.
Újra csak ismételem magam:
Azt írtam, hogy Ludolf mester hátralévő éveiben ezen transzcendens szám minél pontosabb meghatározását tűzte ki céljául!
Tehát egy szóval sem állítottam, hogy ő fedezte volna fel a pi szám transzcendens voltát.
Ellenben mégis csak az ő tiszteletére hívják a periféria indexet Ludolf-féle számnak is,
azaz volt némi köze a pi ”felfedezéséhez”, amire alapjában utalni kívántam volt.
(Ezentúl majd sokkal precízebben próbálok fogalmazni :)
-igazad van az eszmecsere fontosságával kapcsolatban, tehát hajrá:-)
-Szerintem a matematika az egyetlen "tokeletes" tudomany..., ezt kitől olvashattam? Vonnegut, Koesler?, na mindegy, ez is igaz...
-szerintem a matematika, mint olyan, egyértelműen találmány, hiszen az alapja az (pl. az egész számok v. az axiómák); persze az is igaz, hogy nagy része pusztán felfedezés (levezetések, bizonyítások); érdekes az, hogy ennyire jó passzol a valósághoz (vagy csak a valóságról alkotott képünkhöz??);
-valahogy úgy látom, hogy a "matek=találmány" magával hozza az "egy modell"-t, míg a "matek=felfedezés" az "ez a valóság"-ot?!
zümy
Nem kotozkodni akarok, de Ludolf nem tudta, hogy a pi transzcendes (meg azt sem, hogy irracionalis). Elotte is, utana is sokan toltottek sok idot azzal, hogy a pi tizedesjegyeit sorra meghatarozzak; az altala hasznalt modszer is osregi volt. Szoval nem ertem, miert tekintenenk ot felfedezonek. Az en szememben o egy igen tiszteletremelto preciz szamolast hajtott vegre, de semmi tobbet.
Nem állítottam, hogy a pi szám tizedesjegyeinek meghatározása és a kör négyszögesítése között ok-okozati összefüggés lenne, csak hozzáfűzni kívántam az előttem szólónak, a periféria indexre vonatkozó találmány-e vagy felfedezés kérdésére…
Mert bár e kerület/átmérő hányadost (minden más mellett) az ókori egyiptomiak is próbálták már meghatározni, de az első matematikus, aki rájőve arra, hogy ez a beste szám nem szerkeszthető meg euklideszi módon, ezért a hátralévő éveit ezen transzcendens szám minél pontosabb, a lehető legtöbb tizedesjegyre való meghatározását tűzte ki...
A kor negyszogesitesenek nem sok koze van a pi tizedesjegyeinek meghatarozasahoz. Bar lehet, hogy arra gondolt az Oreg, hogy a pi egy tortszam, amikor is negyszogesitheto lenne a kor.
Egyebkent nem talalom egyszerunek a pi-t a koszinusz hatvanysoraval ertelmezni. A hatvanysor ertelmehez ugyanis fel kell epiteni az analizis egy jelentos reszet, akkor pedig mar egyszeruen azt is mondhatjuk, hogy a pi az egysegkor terulete, vagy az egysegkor keruletenek fele.
bár nem Ludolf van Ceulen volt az első, aki a kör négyszögesítésével próbálkozott,
de mégis ő volt a ”felfedező”, aki élete végéig eljutott a pi 35 tizedes jegyre való meg-
határozásáig, s ebbéli fáradozásának gyümölcsét fel is vésette sírkövére...
valahogy így:
pi= cca. 3 1/7
vagy:
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078
164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822
317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288
109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543
266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917
153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657
595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248
912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798
609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608
277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922
796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072
113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223
082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691
473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712
2680661300192787661119590921642019893...
Erdos Pal mindenesetre olyasmit mondott, hogy ha van Isten, van neki egy konyve, amiben benne vannak a legszebb bizonyitasok. Es amikor valaki rajott egy szep bizonyitasra, Erdos azt mondta: ez a Konyvbol van.
A nullát feltalálták...
Fermat utolsó tételének bizonyítását egyértelműen felfedezték
Ez szerintem azért nem ilyen egyszerű. :-) Mi a helyzet például a pi-vel? Találmány vagy felfedezés?
Mondhatnánk, hogy felfedezés, hisz a kör kerületének és átmérőjének viszonyszáma. Ezt valakinek fel kellett fedeznie, de ugyanakkor ez a viszony ugyanugy létezik ember nélkül is a világban.
Másfelöl, ha axiómákból kezdünk építkezni (ebben az esetben ugyebár a matematika talámány), akkor a pi-t legkönnyebben úgy definiálhatjuk, hogy a koszinusz hatványsorának legkisebb pozítiv zérushelyének a kétszerese. :-) Ebben az esetben csupán egy következmény hogy ez valójában egy arányszám is.
Szerintem hogy a matematika felfedezés vagy találmány-e, nemcsak nezőpont kérdése.
Hiszen ha az első eset az igaz, akkor a világ összes jelensége leírható a matematika nyelvén, mégha nagyon bonyorult formában is.
A másodikban viszon korlátozhat bennünket. Ez kicsit olyan, mint a "hiszem ha látom" mondás megfordítása: "látom", ha le lehet írni a matematika nyelvén.
Itt a korlátozott leíróképességen nem a Gödel-tételt értem, hisz talán létezhet egy nem axiómatikus alapokra épülő matematikai is, amelyben (ennélfogva) nem is létezik Gödel-tétel.
A Vilagon sok megvalaszolhatatlan (vagy annak tuno) kerdes van, de a roluk folytatott eszmecsere szvsz erdekes nezopontokat vilagithat meg. :-)
Szerintem a matematika az egyetlen "tokeletes" tudomany (marmint abban az ertelemben, hogy amit tudunk, az biztos ugy van, s nem pedig csak 99%-ig igaz). Igy erdemes elgondolkozni azon, hogy a matematikan keresztul a Vilag "tokeletesseget" latjuk-e vagy egy tokeletesen mukodo modellt alkottunk-e meg.
Hmm, asszem tulsagonsan is elmentem filozofiai iranyba. :-)
al-Ma'moun asked al-Quarismi emlékének felidézéséért neved mellé egy kis köröcskét rajzoltam melyet a közepéből kiindulva egyenletesen pirosra színeztem...
A nullát feltalálták: valami olyasmit írt Al Quarismi (ha jól írtam), aki az írásbeli négy alapműveletet kitalálta vagy először leírta, hogy "ha a végén semmi sem marad, írj oda egy kis köröcskét, hogy az első hely az elsőre kerüljön, mert különben például a másodikat hinnénk elsőnek".
Fermat utolsó tételének bizonyítását egyértelműen felfedezték.
Az első prímképletet is felfedezték.
Általában véve feltalálva csak az axiómák vannak, a többi tétel, eredmény annak következménye, hogy sok matematikus sokat rágódott rajtuk.
Tehát szerintem felfedezés (csak nem az anyagi világban) is és találmány is, de inkább az előbbi.
kedves doki, azt hiszem, hogy egy egyértelmű "ja"-val kell válaszolnom; és kedves topiknyitó, szvsz ez a kérdés egyike azoknak, melyekre sosem fogunk tudni válaszolni;
zümy
Nos, ez talán egy "filozófiai" kérdés, de inkább itt, a Tudomány fórumon nyitok róla topicot, mert a vallás/filózófiában nagyon elszállt emberek mászkálnak. :-)
Gondolom sokan felteszik/feltették magukban a címben szereplő kérdést. Főleg azok, akik sokat foglalkoztak/nak matematikával, látják, hogy a világban lépten-nyomon belebotlunk e-kbe, pi-kbe, matematikai összefüggésekbe.
Szóval mi lehet a helyzet? A matematika tényleg ott van a dolgok mélyén, mint ahogy Galilei gondolta, vagy csupán az elménkben létező speciális gondolkozásforma s csak mi látjuk bele a világba az összefüggéseket rajta keresztül?
