Az amőba játéknak valóban több változata van, de mindegyiknél felmerül a kérdés és felfedezhető, hogy van-e valamelyik játékosnak biztos nyerő stratégiája avagy sem. Az amőba profi változatában, a renjuban máig sem ismert, hogy mi a helyzet.
Amit a fogalmi gondolkodásról írsz, találó, de mint hangsúlyoztam mindenfajta megismerés egy esetleges fogalmi keretben jön létre. Például senki sem kételkedne az éltető Nap létezésében, de már komoly vitákba keverednénk, ha tüzetesen megvizsgálnánk, mit is értünk alatta. Például része a Napnak a sarki fény?
Kedves AgyProTézis, örülök, hogy ha örömöt szerzek az írásaimmal. A pozitív állandó görbületű (elliptikus), nulla görbületű (euklideszi) és negatív állandó görbületű (hiperbolikus) geometriák mind egyaránt kedvesek, de nem egyformán gazdagok. A hiperbolikus a leggazdagabb, az elliptikus a legkevésbé. Ez persze szubjektív vélemény. Néhány kivétellel például minden zárt irányítható felület (pontosabban: Riemann-felület) a hiperbolikus síkból származtatható. Természetesen gondolhatsz az euklideszi geometriára úgy, mint egy határesetre. Az abszolút geometriát biztosan sokan fejtegették, és nagyon sok olyan geometria is van, ami nem illik bele a fenti három osztályba. A matematika egyik fejezetét például véges geometriának hívják. Olyan geometriákkal foglalkozik, ahol csak véges sok pont, egyenes stb. van. A matematikai képzelet határtalan! Azt mindenesetre fontos szem előtt tartani, hogy egy axiómarendszer - hacsak nem túl egyszerű - mindig megenged több modellt, olyanokat is, amelyekben egymással ellentétes állítások is teljesülnek (Gödel nemteljességi tétele).
Egyértelműen felfedeztük, szerintem.
De nem azért, mert platóni értelemben léteznek matematikai ideák, hanem mert minden (na jó, a legtöbb) absztrakt gondolati rendszer a kezdeti feltételek függvénye, tehát (fokozatosan) megismerhető/ismerhető meg.
Azaz kevésbé zavarosan: egyszerűen megalkottunk egy olyan játékot, ami bizonyos feltételek teljesülése esetén szigorúan csak bizonyos állapotokat vehet fel (van győztes stratégiája). Nyilván ez jellemezte a játékot magát már kitalálása pillanatában is - egyszerűen következik a kezdeti feltételeiből. Ha kicsit más szabályokkal játszanánk azt a játékot, amit go-mokunak nevezünk, akkor nem lenne mit felfedezni, mivel nem lenne (mondjuk) győztes stratégia benne.
Azt meg csak nem lehet állítani, hogy csakis az a játék nevezhető amőbának, amiben van győztes stratégia...
Ha viszont lebontjuk a kérdésről a fogalmi gondolkodás csapdáit, akkor ide jutunk: 'felfedezésnek, vagy feltalálásnak nevezzük azt a jelenséget, amikor egy általunk felállított komplex szabályrendszer összes következményeit csak időben elhúzódva ismerjük meg?'
Kedves Gergő73, Akire Feltekintek !
Mi a szakvéleményed az elliptikus-pozitiv görbületű- geometriáról-ahol a háromszög szögösszege nagyobb 180 foknál?
Tekinthetek-e én úgy az euklideszi geometriára, mint ahol a hiperbolikus és az elliptikus geometria 'szingularitása' vagy 'szuperpoziciója' következik be, ezeknek 'speciális szimmetrikus' esetére?
Az abszolut geometria kiváncsivá tesz, az egyetlen biztos pont szerintem csak az, hogy az egyenes két részre osztja a "sikot", ami más-és más a hip. és az ell. geom.-ban.
Ha létezik a 'ténylegesen' abszolut geometria, akkor fejtsük ki.Miért maradnánk/ragadnánk le az emlitett három mellet? Van-e Moebikus Geometria is?
Bocsika, lehet, hogy már határterületet súrolok, de a filozófia is legalább olyan érdekes, főleg a matekos része!!
Üdv. ,és hajrá, de ezerrel! APT.
Ha formalisak akarunk lenni akkor azt kell mondhanunk szvsz , hogy a matematika felfedezesekbol all, hisz azok a karaktersorozatok, amelyek egy igaz tetelt (bizonyitasaval egyutt) leirtak mindig is leteztek (modulo az abc ismerete) csak megtalaltuk oket.
Szamomra a matematikai objektumok tolunk fuggetlenul letezo entitasok. Meg akkor is, ha mondjuk sosem tudhatjuk, meg, hogy letezhet-e egyaltalan az altalunk vizsgalni kivant dolog. Nekem mondjuk egy "szuperkompakt szamossag" ugyanolyan valosagos, mint a 12 szam, vagy az a billentyuzet, amin ezt a hozzaszolast irom.
Az abszolút geometriába a gömbi is beletartozik, ezért a szögösszeges kijelentést visszavonom.
Ellenben van egy kérdésem, ami ehhez a 'felfedezés vagy találmány' parttalan vitához kapcsolódik. Mindenki ismeri a sokezer eves amőba (go-moku) játékot. Két játékos felváltva x-eket es köröket rajzol egy (végtelen) négyzetrácsos papírra. Az a játékos nyer, aki először össze tud hozni 5 darabot a saját jeléből egy sorban, egy oszlopban vagy átlósan. Vegyük úgy, hogy az amőba játék találmány az idő kellemes eltöltésére. Pár éve tudjuk, hogy a kezdő játékos mindig meg tudja verni az ellenfelét, ha elég ügyesen játszik, ráadásul legfeljebb 35 lépésben. Ezt a tényt most felfedeztük vagy feltaláltuk?
Szia, orulok, ha elvezted az irasomat. A matematika jellegebol adodik, hogy a kijelenteseinek egy-egy axiomarendszeren belul van ertelme. A matematika logikai kapcsolatok megallapitasara kepes, semmi tobbre. Egy ilyen logikai kapcsolat az en szememben objektiv igazsag; de egy, a kornyezetebol kiragadott matematikai tetelnek altalaban nincs ertelme es igazsagtartalma. Az axiomarendszerekre erdemes ugy gondolni, mint onallo univerzumokra; de ha ket ilyen univerzumnak vannak kozos axiomaik, akkor kozos igazsagaik is vannak. Ilyen ertelemben termeszetesen van atjaras kozottuk. Az euklideszi es a hiperbolikus geometrianak is vannak kozos allitasaik; az ilyen kozos allitasok halmazat szoktak abszolut geometrianak nevezni. Pl. az abszolut geometriaban minden haromszog szogeinek osszege legfeljebb 180 fok, minden egyenes ket reszre osztja a sikot, stb.
"Mondhatjuk ugyan hogy pl a haromszog terulete = alap * magassag / 2, de ezt honnan kapod meg?"
Ez legyen a haromszog teruletenek a definicoja. Vagy adhatsz definiciot kozvetlenul a csucsok koordinataibol is. A cel az volt, hogy definialjuk a pi-t. En definialtam kozepiskolas eszkozokkel, leszamitva a szupremum letezeset, ami meg lenyegeben a valos szamok egyik axiomaja (persze csak felulrol korlatos halmazokra).
"Azonban a terulet definicioja mogott melyebb fogalmak huzodnak meg."
Lehet, hogy Te az integralbol definialod a teruletet; de csinalhatod forditva is. En csak azt akartam hangsulyozni, hogy a pi ertelmezesehez minimalis analizisre sincsen szukseg. Elfogadom, hogy neha erdemes bonyolitani a dolgokat, csak itt nem erre ment ki a jatek.
Szerintem a matematika az egyetlen "tokeletes" tudomany..., ezt kitől olvashattam? Vonnegut, Koesler?, na mindegy, ez is igaz...
Erre mar nem emlexem. :-) Ha olvastam is vhol, akkor biztos, hogy nem filozofustol. :-)
szerintem a matematika, mint olyan, egyértelműen találmány, hiszen az alapja az (pl. az egész számok v. az axiómák); persze az is igaz, hogy nagy része pusztán felfedezés (levezetések, bizonyítások); érdekes az, hogy ennyire jó passzol a valósághoz (vagy csak a valóságról alkotott képünkhöz??);
-valahogy úgy látom, hogy a "matek=találmány" magával hozza az "egy modell"-t, míg a "matek=felfedezés" az "ez a valóság"-ot?!
Nos, az en nezopontom jelenleg az, hogy a matematika "talalmany" abbol a szempontbol, hogy nincs ott a "dolgok melyen". Viszon nagyon is ott van a vilagrol az elmenkben kialakitott modellben, amely tobbe-kevesbbe pontos "tukorkepe" a valosagnak. S abbol a szempontbol felfedezes, hogy fokozatosan felfedezzuk ezen modell tulajdonsagait, osszefuggeseit. S ezeket csupan a sajat modell-szemuvegunkon latjuk bele a valosagba.
Ellenben a kor teruletenek vagy keruletenek ertelmezesehez nincs szukseg az integral fogalmara, hiszen konvex alakzatrol van szo. Egyszeruen mondhatjuk azt, hogy a terulet a korbe irhato sokszoget teruletenek legkisebb felso korlatja (ennek letezeset egy axioma biztositja kozvetlenul), a kerulet pedig a korbe irhato sokszogek keruletenek legkisebb felso korlatja
Akarhogy is nezem, ezzel nem erthetek egyet. :-) Ezzel a magyarazattal nem kerulted ki a terulet definialasanak kerdeset.
Mondhatjuk ugyan hogy pl a haromszog terulete = alap * magassag / 2, de ezt honnan kapod meg? A "kozeliskolai" magyarazat ugyebar az, hogy "latszik", meg hogy kulonbozo trukkoket alkalmazva visszavezetjuk az egysegnegyzet teruletere valahogy.
Azonban a terulet definicioja mogott melyebb fogalmak huzodnak meg. Ez pedig kerulet eseten a vonalintegral, terulet eseten pedig egy ketdimenzios halmazra (az adott alakzatra) kiszamitott konstans 1 fv integralja.
Tehat en meg mindig ugy erzem, hogy a pi-re a legtermeszetesebb definicio a legegyszerubb. <*i>
Ez igaz, csak a legegyszerubb dolgokat a legnehezebb belatni... :-) Ha megelegszunk a terulet egysegnegyzetes "pongyola" definiciojaval, akkor tenyleg megfelelo a kerulet/atmero definicio a pi-re.
Ha mar ragaszkodunk a vegtelen sorokhoz, akkor a hatvanysornal egyszerubb definicio ...
Ez is igaz, csak az a baj vele, hogy ezek semmi masra nem hasznalhatoak. Nem lehet beloluk egykonnyen eljutni a korhoz. :-)
Kedves Gergő !
Örülök, hogy ilyen mélyenszántóan nyilvánultál meg; élveztem, mint őstermelő a sertés-elejtést.
És akkor az a rémes gondolatom támadt, hogy létezik-e az teljes,objektiv matematikai igazság, vagy az is csak a vonatkozó axióma rendszerben érvényes? Létezik-e kapcsolat-átjárás az axióma-rendszerek között, vagy azok egy-egy önálló univerzumok-e? Én csak az Euklideszit tanultam, a Bólyai-Lob.-ról némi fogalmam van, a többdimenziósokat/Riemann?/ egyáltalában se!
Üdv.! Hajrá!
Ha lehetne még, érdekelne a pi tizedes tört jegyalakjának első 523551502 helyi értékének összege!
De komolyra fordítva, ilyen érdekességek engem is felvillanyoznak, különös tekintettel akkor, ha azok a jó öreg Ludolf mester ”felfedezte” periféria index általam ismert első 35 helyi értéke utáni számtengerre vonatkoznak...
Figyelemmel kísérem további kuriózumaitokat...
Ugy erzem, sokakban helytelen kepzetet kelt az axiomak fogalma. Tobbek reszerol elhangzott itt az a velemeny, hogy az axiomak teszik a matematikat kevesbe termeszetesse vagy onmagaban letezove, egyszoval talalmannya.
A matematikat nem helyes azonositani azzal a matematikai ismerethalmazzal, ami mar a birtokunkban van, vagy azokkal a kozkedvelt axiomarendszerekkel, amelyeket ilyen vagy olyan okokbol kifolyolag elonyben reszesitunk. Helyesebb ra ugy tekinteni, mint minden lehetseges axiomarendszer minden lehetseges kovetkezmenyere. Az axiomak megvalasztasat nem valamifele igazsagfogalom vezerli - hiszen a megvalasztasukig nincs is ertelme igazsagfogalomrol beszelni. Axiomarendszernek valaszthato tetszoleges allitasok egy tetszoleges halmaza. Persze egyes axiomarendszerek gazdagabb kovetkezmenyhalmazzal birnak, mint masok: eppen ez a matematika fuggetlen realitasa, ami nagyon is megelheto es felfedezheto.
Lambert mast ertett transzcendens alatt, mint mi. Az o 'transzcendens' kifejezese a mi 'irracionalis' szavunknak felel meg. O 1761-ben azt bizonyitotta, hogy a pi irracionalis, azaz hogy nem ket egesz szam hanyadosa. Maskeppen kifejezve ez azt jelenti, hogy a pi nem gyoke egy egesz egyutthatos elsofoku polinomnak. Az, hogy a pi transzcendens, joval tobbet mondo allitas, es csak 1882-ben nyert igazolast. Ez azt jelenti, hogy a pi egyetlen egesz egyutthatos polinomnak sem gyoke, fuggetlenul annak a fokszamatol.
Ne haragudj a misztikus jelzoert. En csak azt akartam megvilagitani, hogy az egesz matematikank abbol az Univerzumbol lett elvonatkoztatva, ami korulvesz minket. Ahogy beszelhetunk a pi-rol, mint az egysegkor teruleterol, ugyanugy beszelhetunk a legkisebb olyan pozitiv egeszrol, ami tobbfelekeppen felirhato ket kobszam osszegekent (ez a szam az 1729=12^3+1^3=10^3+9^3). Lehet, hogy a kozvetlen erzekszervi tapasztalatainkhoz a korok es a teruletuk kozelebb allnak, mint a kobszamok osszegei; de mindketto egy absztrakcios lanc eredmenye, es mint ilyenek egyenranguan leteznek az Univerzumban. Mindkettot gondolkodassal tapasztaljuk meg.
A matematikusok azert beszelnek a tudomanyukon belul olyan elevenen felfedezesrol es letezesrol, mert a matematikat a szemelyuktol fuggetlenul es nagyon intenziven elik meg. Csakugy, mint a kisgyerek, aki felfedezi a koroket es a gomboket. A matematika nem kevesbe fuggetlen a szemelyunktol, mint a termeszet maga. A termeszetet az erzekszerveinkkel erzekeljuk, de valodi erzette az agyunk altal valik, csak ugy mint az elvontabb gondolatok.
Amikor mondjuk egy fizikus erokrol beszel, akkor egy esetleges gondolati keretet, fogalomrendszert hoz letre. Ilyen modon mondhatjuk azt, hogy a fizikusok az ero fogalmat feltalaltak; es Newton sem felfedezte, hanem feltalalta a gravitaciot. Egy mely ertelemben nincs nagy kulonbseg a felfedezes es a talalmany kozott, hiszen minden amirol beszelunk es tudomasunk van, elvont fogalmak formajaban letezik a tudatunkban. A fogalmak esetlegesek - a tudatot nem fuggetlenithetjuk a szemelyunktol.
Ugy 6-7 eves koromban utott szoget a fejembe a kovetkezo dilemma. Egy levellel jatszadoztam, ugy, hogy kette teptem, majd a reszeket is kette, es igy tovabb. Azon akadtam fenn, hogy hogy lehet az, hogy a matematika szerint a vegtelensegig felezhetem a reszeket, mig a fizika es a kemia azt tanitja, hogy elobb-utobb eljutunk oszthatatlan reszekig. Egy darabig ez komoly konfliktuskent elt bennem. Aztan egyszer vegre rajottem, hogy mas az a level, amirol a matematika beszel, es mas az, amirol a fizika/kemia. De nagyon valosagosnak eltem meg azt a levelet, ami a vegtelensegig felezheto - legalabb olyan valosagosnak, mint azt, amit a kezembe tudtam venni. Azt hiszem, akkor valtam matematikussa.
Liouville azt bizonyitotta, hogy ha egy x szamhoz minden A>0 eseten vegtelen sok p/q tort talalhato ugy, hogy |x-p/q|<q-A, akkor x transzcendens. Egesz pontosan, ha a fenti tulajdonsagu A-k szupremumat az x irracionalitasi mertekenek nevezzuk, akkor Liouville tetele szerint egy n-edfoku algebrai szam irracionalitasi merteke legfeljebb n.
Sajnos a fenti modon sem az e-rol, sem a pi-rol nem igazolhato, hogy o transzcendens lenne. Az e irracionalitasi merteke a leheto legkisebb, amivel egy irracionalis szam rendelkezhet, nevezetesen 2. A pi irracionalitasi merteket pontosan nem ismerjuk, de tudjuk, hogy veges (Mahler 1953), a jelenlegi legjobb eredmeny szerint legfeljebb 8.0161 (Hata 1992).
Liouville sokkal gyorsabban konvergalo sorokkal adott meg vegtelen irracionalitasi merteku (tehat transzcendes) szamokat: ilyen pl. a 2-n! tagokkal rendelkezo sor.
Egy joval melyebb eredmeny szerint (Roth 1955) minden algebrai szam irracionalitasi merteke pontosan 2. Meg nyitott a kerdes, hogy ebbol az erosebb kriteriumbol kovetkezik-e a pi transzcendens volta. Az en tippem az, hogy nem, azaz hogy a pi irracionalitasi merteke is pontosan 2.
Az e es a pi transzcendens voltanak egy bizonyitasa elerheto az interneten: http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes6.pdf
De, persze, arra gondoltam, nem is tudom, hogy kavarhattam össze. Az irracionalitásnak ez a bizonyítása Euleré, ebben most biztos vagyok. :)
De rémlik valami olyasmi is, hogy ha egy számhoz van elég gyorsan konvergáló racionális közelítés, akkor mindenképpen transzcendens (Liouville?). De azt most nem tudom, hogy ezek a részletösszegek jók-e erre a célra, már régen volt, mikor ilyesmit tanultam.
Azért furcsállom, mert az e transzcendens volta egyszerűen levezethető a végtelen soros alakjából, ezért gondoltam, hogy Eulernek tudnia kellett.Dehát úgy látszik, mégsem.
