Miután a Skalár-e az egydimenziós vektor?-ral már úgyis jól lejárattam magam, így bátorkodom előhozni egy másik gyermekkori nümükémet.
Például itt az a csoda, amit a nemrég fellelt Archimédeszi Palimpszesztben is megtaláltak, miszerint a(z azonos magasságú és átmérőjű) henger=gömb+kúp
Mindigis zavart, hogy milyen szépek lennének a képletek, ha az a fránya Pi pontosan három lenne, és
nem 3,14...
Elhülyéskedtem a kérdéssel, de a legtöbb, amit a fagyos közönyön kívül ki tudtam váltani vele, az a fagyos elutasítás volt.
Talán mert belekevertem a Jóistent is.
Oly módon, hogy a Jóisten nem a térdén hajlította meg a teret (Pi<3 lett volna), nem is az ujjával csettintve (Pi=3 maradt volna) hanem ajkaival pontosan kiszámítva cuppantott (Pi=3,14... lett), mikor teret teremtette.
(Az Élet Értelme: http://zorroaszter.nolblog.hu/archives/2012/06/03/Az_Elet_Ertelme/)
De talán itt az indexen vannak érzőbb szívű olvtársak is.
Tehát a végső kérdés (The Ultimate Question):
Létezhet-e olyan speciálisan horpadt nemeuklideszi tér, ahol a pi pont három?
És ha létezik, ez lenne minden geometria ősanyja?
Azt elfelejtettem mondani mmormotának, hogy tréfálkozni, humorizálni végképp nem érdemes. Az emberek jelentős részének a humorérzéke ZÉRUS. Bármit mondunk, szó szerint veszik.
A másik fele meg azért veszi szó szerint a humort is, mert vitákat akar nyerni bármi áron.
"Rajzoljál köröket, és oszd el a kerületét az átmérőjével."
Ha kicsit körülnéznél, akkor látnád, hogy ezen már egy ideje túlléptünk. Persze nem mindenki.
A számegyenes, aminek megfeleltetjük a valós számokat, az a geometria része. Magától értetődő módon egyenletes, hézagmentes, stb. Ezt biztosítja már a természetes számok bevezetése is.
Tehát igenis vannak geometriai vonatkozások, mégha hallgatólagosan veszünk róluk tudomást és nem tulajdonítunk jelentőséget nekik mert semmilyen problémát sem hoznak be. (Holott elvben hozhatnának.)
Ám például az Euklideszi tér párhuzamossági anomáliái miatt mégis kellett foglalkozni konkrétan is a geometriai vonatkozásokkal. Éppen a függvénytannal kapcsolatosan.
Ha szabatosan fogalmazok, akkor minimum a 90% nem érti, mit akarok. És magyarázkodhatok vég nélkül.
Ha a megértés érdekében engedményeket teszek (PI=3.0 világ, geometria, stb.), akkor meg az olvasók fele azon rúgózik, miért nem fogalmazok pontosan, szabatosan.
Ezek a tények. Ehhez kell jó képet vágni és alkalmazkodni.
Sokféle összefüggés van. Az egyik a már említett Erdős-Kac tétel. Mondok két másikat, ami hirtelen eszembe jut.
1. A prodp(1-p-2) szorzat - ahol p a prímek felett fut - nem más, mint 6/pi2. Egy ezzel ekvivalens állítás, hogy a négyzetmentes számok sűrűsége 6/pi2. Általában véve, minden pozitív egész n-re a prodp(1-p-2n) szorzat előáll egy racionális szám és a pi2n hányadosaként.
2. Ha zeta(s) a szokásos Riemann-zeta függvény (amit Euler, majd Riemann pont a prímszámok eloszlásának tanulmányozására vezetett be), akkor a
pi-s/2 Gamma(s/2) zeta(s)
szorzat invariáns az s->1-s cserére. Ez az összefüggés valójában definiálja a pi-t, mert csak a pi-vel teljesül.
Oly módon, hogy a Jóisten nem a térdén hajlította meg a teret (Pi<3 lett volna), nem is az ujjával csettintve (Pi=3 maradt volna) hanem ajkaival pontosan kiszámítva cuppantott (Pi=3,14... lett), mikor teret teremtette.
Ennek mi az értelme?
Remélem, nem oda akarsz kilyukadni, hogy Isten a matematika által teremtette meg a világot. (Vagy hogy a világ magától a matematika által jött létre.)
Rajzoljál köröket, és oszd el a kerületét az átmérőjével. A kör kerületét mérd le valami zsinórral.
3.14 körüli értékeket fogsz kapni.
Azért van igy, mert a kör köré rajzolt négyzetnek 4d a kerülete, a körnek valamivel kevesebb, a sarkok miatt. Sajnos nem annyival kevesebb, hogy 3 jöjjön ki.
Az ókori görögök nem definiálták a pi-t. Nyilván érdekelte őket, hogy a körkerület hogyan aránylik az átmérőhöz, de erre legfeljebb csak becsléseket adtak a körbe írt és a kör köré írt sokszögek segítségével. Az arányokat ők nem tekintették olyan számoknak, mint mi, pont azért, mert a valós szám fogalma egy bonyolult dolog. Archimédész persze pedzegette a dolgot, és nagyon zseniális dolgokat kitalált, de nem gondolkozott a mai értelemben vett valós számfogalomban.
A pi-t (mint bármilyen más matematikai fogalmat) sokféleképpen lehet definiálni. Az egyik könyv így építi fel az anyagot, a másik könyv meg amúgy. Ami azonban fontos, hogy a különböző definíciók, felépítések konzisztensek legyenek egymással, hogy a végén ugyanazok a tételek legyenek igazak. A pi-t például definiálhatjuk a következő módokon, miután már bevezettük a megfelelő háttérfogalmakat (szám, stb.):
1. Az euklideszi sík egységkörének félkerülete.
2. Az x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+-... hatványsor első pozitív gyöke.
3. A (4/3)(16/15)(36/35)(64/63)... végtelen szorzat kétszerese.
4. Az a pozitív c konstans, amire intR exp(-c x2) dx = 1.
És így tovább. Lehetne mondani több száz definíciót, de fontos, hogy mindegyik ugyanazt a számot definiálja. Ezt matematikai tételek biztosítják. Pl. bizonyítható, hogy a fenti 4 definíció ugyanazt a számot definiálja, és ezt a számot jelöljük pi-vel. Nem pedig a 3-at vagy valami mást.
Erre mondtam, hogy a PI=3.0 világban nyilván a sinus függvény egy hangyányit másként néz ki mint a mi világunkban.
A színusz egyetlen függvényt jelent, ahogyan a pi is egyetlen dolgot jelent. Nem függ semmiféle tértől. Jól is néznénk ki, ha a színusz és a pi mondjuk Ausztráliában 10 év múlva mást jelentene, mint Magyarországon a mai napon. Persze lehet csinálni a színuszhoz és a pi-hez hasonló dolgokat, de azt már nem színusznak és pi-nek hívjuk, pont azért, hogy ne legyen kavarodás. Az általam idézett centrális határeloszlás-tételben és az Erdős-Kac tételben pedig a közönséges pi=3.1415926... szám szerepel. Nem azért, mert ezt bálványozzuk vagy mert az euklideszi geometriából indulunk ki, hanem mert ezzel a konstanssal igazak ezek a tételek (tehát más konstanssal nem igazak). A prímszámok nem tudnak az euklideszi térről, de tudnak a pi-ről. Ilyen a matematikai univerzum. Elevenítsd fel a prímszámok sorozatát: 2,3,5,7,11,13,17,19,stb. Hol látsz itt geometriát meg görbületet? Mégis, a prímszámok megértéséhez tudnunk kell a pi-ről (arról a pi-ről, amit az euklideszi geometrián keresztül ismertünk meg, de megismerhettünk volna más módon is, pl. a valószínűségszámításon keresztül). A pi=3.1415926... egyébként az összes (görbült) Riemann-sokaságban fontos konstans, korábban leírtam, miért (bizonyítással, referenciával).
Azt is elmondtam, hogy mi a gond azzal, amikor "Pi=3.0" világot emlegetsz. Nem világos, mit értesz alatta, mik az axiómák ebben a világban. Korábban kielemeztem a Riemann-sokaság és a Banach-terek esetét, nem fogom újra elmondani (de továbbra is úgy érzem, semmi nem megy át abból, amit mondunk neked; megy a belső mozid).
Erre mondtam, hogy a PI=3.0 világban nyilván a sinus függvény egy hangyányit másként néz ki mint a mi világunkban.
Mi az, hogy "mi világunk", meg "pi=3 világ" ? Ebből és a hasonló mondataidból gyanítom, hogy kevered azt amit valóságnak nevezünk, az axiomatikusan felépített gondolati konstrukcióinkkal.
Ez viszont nekem nagyon furcsa.
Azt hiszed, egy másfajta valóságban - akármit is értsünk ez alatt - ugyanazokból az axiómákból valami egész más következtetésekre jutnánk? Az axiómák nem önmagukban határoznák meg mi következik belőlük, hanem valahogy a valóság elemei is beleszólnának ebbe?
Hogyan tehetnék? Egy bizonyítás nem egyéb, mint logikai következtetések láncolata, ami az axiómáktól elvezett az állításig. Ebbe hogyan szólhat bele a valóság? Más lépések lennének logikusak, vagy hogy?
Gondold ezt át rendesen. Annyira értelmetlen az álláspontod, hogy nem nagyon lehet a hozzászólásodhoz kapcsolódva válaszolni.
Mások lennének a prímszámok, vagy mi? Hogyan mások? Kicsit oszthatóak néha, vagy hogy képzeled???
Próbáltam kitalálni, mire gondolhatsz mikor ezeket a furcsa hozzászólásokat írod, de nem sokra jutottam.
Egyik ötletem:
- mondjuk a pi=3 világ egy számítógépes szimuláció, amiben MI-k próbálják megérteni a világukat
- sajátos szabályok vannak, mondjuk olyanok, hogy amit őt valóságnak látnak, azt teszem azt éppen olyan Banach-térrel lehet legjobban modellezni, amiben a "kör" kerület/átmérő aránya 3 (és nekik ez lesz az első kör fogalmuk, mert ilyen jellegű valóságra nyitják a virtuális szemeiket)
- OK, eddig meg is lennénk, de ha elég jó MI-k, akkor kitalálhatnak más axiómarendszereket is (ahogy mi is kitaláltuk a Banach-teret meg millió absztrakt dolgot), és ugyanúgy felfedezhetik a mi pi fogalmunkat, és az nekik is pont annyi lesz mint nekünk. Fontos lesz, mert a Gauss eloszlás, a prímek stb., az is beugorhat nekik hogy van egy absztrakt euklideszi "kör" ami nem olyan mint az ő igazi körök, és nem is 3 hanem pi jellemzi. Ez a pi pedig nem függ attól, hogy ők mit gondolnak a saját valóságukról
Vagyis arra jutottam, hogy amit mondasz, az így se jó.
Legfeljebb akkor, ha erőből úgy korlátozunk minden MI-t, hogy amikor a pi-re kerül a sor, akkor bekattanjon nekik valami rögeszme, mindnek egytől egyig, mindig. Ilyenkor mondjuk nem logikusan gondolkodnának, hanem mantraként felmondanák: "a pi az 3".
"Remélem, nem gondolod, hogy egy képzeletbeli absztrakt sorsolás vagy a prímszámok eloszlása függenek bármiféle geometriától!"
Ha a függvények tulajdonságait, például görbe alatti területét Euklideszi térben, síkban vizsgálgatjuk, akkor nyilván a tér, sík tulajdonságai hatással vannak a függvényekre.
Erre mondtam, hogy a PI=3.0 világban nyilván a sinus függvény egy hangyányit másként néz ki mint a mi világunkban.
Akkor nyílván a Gauss eloszlás se úgy néz ki. És nyílván az összes olyan függvény se, ami a PI-t tartalmazza. De a többi se.
Azt látom, hogy nagyon erőlködsz ezen. És hogy valamiféle érvet akarsz jobb híján fabrikálni belőle.
Mintha bizony valakinek a véleményének értékét befolyásolná, hogy 120-as vérnyomás mellett mondta ki vagy 150 hgmm-essel.
De ez a téma elvileg matematikai. És nem napipolitika vagy pszichológia.
Mellesleg felhívnám szíves figyelmedet például a 149-es kommentre. Mármint az ottani elismerésre. Neki nem akarsz vérnyomásra vagy vérmérsékletre vonatkozó tanácsokat adni? :o)
Miszerint a PI-nek geometriától függetlenül is van matematikai jelentése.
Sok helyen felbukkan a pi a geometriától függetlenül. Nézd meg az ábrákat és a környező szöveget itt. Arról szólnak, hogy ha egy bármilyen kísérletet (pl. sorsolás egy urnából) elég sokszor elvégzel, akkor egy adott kimenetel eloszlása (megfelelően normálva) a Gauss-féle standard normális eloszláshoz tart. Ennek az eloszlásnak a sűrűségfüggvénye exp(-pi*x2), ott van benne a pi. A tételnek vannak nehezebb számelméleti variánsai. Pl. az Erdős-Kac tétel szerint egy véletlenszerű nagy egész szám prímosztóinak száma is (megfelelően normálva) a Gauss-féle standard normális eloszláshoz tart. Remélem, nem gondolod, hogy egy képzeletbeli absztrakt sorsolás vagy a prímszámok eloszlása függenek bármiféle geometriától!
Az a kérdés, hogy pontosan mit nevezel geometriának: mik az axiómáid azon felül, hogy minden kör kerülete legyen az átmérő 3-szorosa? A válasz ezektől az adalék axiómáktól függ.
Mivel körökről beszélünk, hagyatkozzunk a kétdimenziós geometriákra. Ezek között nincs olyan Riemann-sokaság, amiben minden kör kerülete 3-szorosa az átmérőnek. Ellenben van (izometria erejéig) pontosan egy olyan (kétdimenziós) Banach-tér, amiben minden kör kerülete 3-szorosa az átmérőnek. A Riemann-sokaság és a Banach-tér két különböző állatfajta, másként általánosítják az euklideszi síkot, más axiómákat elégítenek ki.
A Banach-teres állításomhoz adtam adtam referenciát. A Riemann-sokaságos állításomra vonatkozóan lásd a (3.8)-at Morgan: Riemannian Geometry: a Beginner’s Guide (2nd ed., 1998) könyvében. Ebből a formulából kiderül, hogy egy (kétdimenziós) Riemann-sokaságon egy fix p pont körüli r sugarú kör kerülete
2pi*r - G*pi*r3/3 + O(r5),
ahol G a p-beli görbület. Tehát az r sugarú kör kerületének és átmérőjének hányadosa
pi - G*pi*r2/6 + O(r4).
Ha most r tart a nullához, akkor ez a kifejezés pi-hez tart, hiszen a második és a harmadik tag is nullához tart. Speciálisan, ha r kellően kicsi, akkor a kifejezés 3-nál nagyobb (ahogy korábban is mondtam). QED
"Nem értem, miért akarod belémdumálni, hogy bármi "felbosszant"."
Abból látszik az ingerültséged, hogy még egy ilyen világos, szakszerű és segítőszándékú hozzászólást is képes voltál egyből kamuzásnak minősíteni:
"Nem létezik ilyen geometria. . . . A görbült terekben (magyarul a Riemann-sokaságokban) a körök kerületének és átmérőjének a hányadosa nem állandó, hanem körről körre változik. Csak 0 görbület mellett kapsz állandó hányadost, de akkor a pi-t kapod."
Valami egészen alapvetőt értesz félre, vagy nem értesz meg, vagy nem is tudom.
Talán azt kevered be valahogy, hogy a fizikai terünknek elég jó (bár nem tökéletes) modellje az euklideszi tér, és azt hiszed, ez valahogy meghatározza a matematikát is. Pedig az euklideszi tér egy axiómarendszer, a tulajdonságai csak és kizárólag az axiómák által meghatározottak, és teljesen függetlenek attól, hogy lehet-e ezekkel jól modellezni a valóság bizonyos megfigyelt tulajdonságait, vagy sem.
Nem értem, miért akarod belémdumálni, hogy bármi "felbosszant".
És azt se, mi ennek a jelentősége? Mi van, ha azt mondanám: "ideges vagyok" vagy "bosszankodom"?
És ha igen, akkor mi van?
De történetesen nincs is így: fát lehet vágni a hátamon és attól se aggódok, ha ég a ház.
Ezért végképp nem értem.
És nem:
nem hiszem, hogy át akar verni. A PI -t közelítő sorral azt akarta mondani, amit Fat old Sun és Mungo is a maguk módján, de tévednek. Miszerint a PI-nek geometriától függetlenül is van matematikai jelentése.
Ám a PI=3.0 valóságban a teljes matematika is más. Például a sinus függvény nyilván, de minden más is.
Ám az Euklideszi PI ott csak egy teljesen érdektelen irracionális szám.
"Próbálj beletörődni, hogy pi-nek egy számot nevezünk és nem a kör kerületének és átmérőjének a hányadosát. Még akkor sem, ha ez az arány éppen egyenlő pi-vel."
Rosszul tudod. A fogalom már akkor megvolt, amikor nem tudták, hogy irracionális pláne transzcendens, hanem például 3-al, vagy 22/7 -el közelítették.
Én is elnézést kérek. Azért is, amit valójában nem is mondtam komolyan. Inkább csak elvből replikának szántam. Tulajdonképpen mind.
Mindez viszont nem változtat azon a véleményemen, hogy amit a Riemann-geometriáról mondtál a tárgyban, mindaz nem olvasható ki az általad megadott forrásokból.
Továbbra is fenntartom, hogy akár axiomatikusan is kimondható egy térre hogy benne a PI minden körre pontosan három. Azt azonban továbbra sem tudom, hogy kellene/lehetne ezek után bizonyítani hogy ez a behorpadt tér ellentmondásmentes marad. De ezt eddig se tagadtam.
Vallás: nem vagyok vallásos. A vallás bevonása a kérdésbe későbbi és inkább vicc volt mint komoly. De ez a lényeget egyébként sem érinti.
