Miután a Skalár-e az egydimenziós vektor?-ral már úgyis jól lejárattam magam, így bátorkodom előhozni egy másik gyermekkori nümükémet.
Például itt az a csoda, amit a nemrég fellelt Archimédeszi Palimpszesztben is megtaláltak, miszerint a(z azonos magasságú és átmérőjű) henger=gömb+kúp
Mindigis zavart, hogy milyen szépek lennének a képletek, ha az a fránya Pi pontosan három lenne, és
nem 3,14...
Elhülyéskedtem a kérdéssel, de a legtöbb, amit a fagyos közönyön kívül ki tudtam váltani vele, az a fagyos elutasítás volt.
Talán mert belekevertem a Jóistent is.
Oly módon, hogy a Jóisten nem a térdén hajlította meg a teret (Pi<3 lett volna), nem is az ujjával csettintve (Pi=3 maradt volna) hanem ajkaival pontosan kiszámítva cuppantott (Pi=3,14... lett), mikor teret teremtette.
(Az Élet Értelme: http://zorroaszter.nolblog.hu/archives/2012/06/03/Az_Elet_Ertelme/)
De talán itt az indexen vannak érzőbb szívű olvtársak is.
Tehát a végső kérdés (The Ultimate Question):
Létezhet-e olyan speciálisan horpadt nemeuklideszi tér, ahol a pi pont három?
És ha létezik, ez lenne minden geometria ősanyja?
Ez is csak a 3.14.. = 3+0.14... bonyolitott változata.
Ja, persze, ezért gondolkoztak rajta évtizedeket a XVII. századi matematikusok.
p1+p2+p3+p4+... = x*pi, ahol x valamilyen szám, pi=3.14...
Ha a prímeket elkezded összeadogatni, akkor végtelent kapsz. Hiszen végtelen sok prímszám van, és mindegyik nagyobb 1-nél. Az általam emlegett
prodp(1-p-2) = 6/pi2
képletben a bal oldal egy értelmes valós szám (konvergens a szorzat), és a dolog érdekessége, hogy az 1/pi2 egy racionális számszorosa. Máig megoldatlan probléma, hogy a prodp(1-p-3) szorzat racionális számszorosa-e az 1/pi3-nek. Valószínűleg nem.
akkor tovább variáljuk, amig meg nem kapjuk ezt az összefüggést, amit te felirtál
Hát elég sokat kell variálni, hogy megkapjuk. Ha már ilyen egyszerűnek tartod, akkor mondd már meg mi a megfelelő képlet a prodp(1-p-6) szorzatra? Variáld már ki nekem, kérlek.
Ha egymásba helyezed az euklideszi térbe ágyazott kúpfelületeket, akkor visszakapod az euklideszi teret. Nem tudod meghekkelni, amit mondtam, mert az egy matematikai tétel. Egy görbült (sima) felületen egy fix középpont körüli kis sugarú körök kerülete aszimptotikusan az átmérőjük pi-szerese. Továbbá ismétlem, amit mondtam: a kúpfelület nem görbült felület, mert a csúcsában nincs görbület (a felület ott nem sima, hanem megtörik).
Van-e olyan rendszer, ahol a kör kerülete nem 3.14d? NINCS - amennyiben a kör, kör kerülete és átmérője ugyanúgy van definiálva, mint az euklideszi geometriában.
Hibás logika. Attól, hogy valami egy X elméletben ugyanúgy van definiálva, mint az Y elméletben, attól még az X elméletben egészen más dolgok lehetnek igazak rá, mint az Y elméletben. Pl. a -1 szám ugyanazt jelenti a valós számok körében, mint a komplex számok körében, de az előbbiben nincs négyzetgyöke, az utóbbiban meg van.
A pi-t nem az euklideszi geometrián belül definiáljuk, hanem az euklideszi geometriából kiindulva definiáljuk: a pi az euklideszi egységkör félkerülete. Egy valós szám, amiről az ókori görögök még nem beszéltek, mert nem ismerték a valós számokat (persze kapisgálták a dolgot az arányok fogalmán keresztül). És mint ilyen a pi használható (és használjuk is) minden olyan elméletben, ahol számokról beszélünk. A hiperbolikus geometriában, a valószínűségszámításban, stb. A pi-ről kiderült, hogy meglepően fontos, jóval túlmutat az euklideszi geometrián. Ezért nem is variáljuk a jelentését. A pi ugyanazt a valós számot jelentette 300 évvel ezelőtt, mint most.
Olvasd el és értsd meg, amit a 291-es üzenetben írtam.
Mivel a kúp felületek egymásba helyezhetőek, anélkül, hogy ütköznének (bizonyos irányba párhuzamosan eltolható), kiterjeszthető 3 dimenzióba is, s bármely háromdimenziós pont lehet egy kúp csúcsa is, tehát az említett körök középpontja.
Azon a bizonyos kúpfelületen csak azokra a körökre igaz a kívánalom (hogy a kerület az átmérő 3-szorosa legyen), amiknek középpontja a kúp csúcsa. A többi körre nem igaz. Jegyezzük meg, hogy egy kúpfelület nem görbült felület, mert a csúcsában nem sima (ott nincs semmiféle görbület). Egy görbült felületen az van, amit mondtam korábban sokszor: bármely rögzített pont körül a kellően kicsi körök kerülete jó közelítéssel az átmérő pi-szerese, ergo nagyobb az átmérő 3-szorosánál.
"Rajzoljál köröket, és oszd el a kerületét az átmérőjével."
Ha kicsit körülnéznél, akkor látnád, hogy ezen már egy ideje túlléptünk
Ha túlléptünk, akkor miért gondolod, hogy a pi lehet 3? Vagy hogyan gondolod?
Igen, a nem-euklideszi geometriában, a pi lehet 3, ha igy DEFINIÁLJUK a pi-t. Sőt, az euklideszi geometriában is lehet 3, ha igy definiálnánk.
Az alfát pedig definiálhatjuk 1-nek, a bétát pedig 2-nek. Bármelyik görög (és nem görög) betűt definiálhatunk bárhogyan.
Tehát, igen, a pi LEHET 3 bármelyik rendszerben, ha azt mondjuk, hogy
pi = 3, definició szerint.
Ha viszont a kör kerületére gondolsz, akkor az 3.14d, és ezt a 3.14...-et neveztük el pi-nek.
Van-e olyan rendszer, ahol a kör kerülete nem 3.14d? NINCS - amennyiben a kör, kör kerülete és átmérője ugyanúgy van definiálva, mint az euklideszi geometriában.
Minden geometria az euklideszi geometriára épül, mert az euklideszi geometriában definiált dolgok másfajta geometriában is úgy vannak definiálva. Lehet-e olyan geometria, ahol a kör, kerület, stb. másképp van definiálva? Valószinűleg igen, de tudomásom szerint ilyen jelenleg nincs a hivatalos matematikában.
A pi azért érdekes szám, mert sok különböző tételben előfordul, és ugyanezért lehet sok érdekes módon definiálni. A pi=3+0.141592... definíció (ahol a második tag éppen pi-3) nem érdekes. Tautológia. Az viszont egy mélyebb dolog (valódi matematika), hogy a 176-beli két állításban, illetve a 172-beli négy állításban ugyanaz a pi szám szerepel.
És lehet felirni egyenleteket, úgy hogy a primszámok, páros számok, stb, szerepeljenek benne, bármit amit akarunk.
Vannak érdekes és kevésbé összefüggések a matematikában. A fent említett pi=3+0.141592... összefüggésben ugyan szerepel a 3 prímszám, de ettől még teljesen érdektelen. Az viszont, hogy a prímek feletti prodp(1-p-2) szorzat éppen 6/pi2, egy mély és izgalmas dolog. Ezt Euler igazolta 1734-ben, és az akkori matematika csúcsteljesítménye volt.
Mert ha ugyanúgy, mint a normál geometriában, akkor miért lenne az egyes körök kerülete különbözőképpen számolva?
A körkerület szokásos képlete (2pi*r) az euklideszi geometria tétele, az euklideszi axiómák következménye. Pontosabban az a tétel, hogy az r sugarú kör kerülete az egységkör kerületének r-szerese. Az egységkör félkerületét jelöljük pi-vel, innen jön a 2pi*r képlet.
Na most egy görbült felületen nem érvényesek az euklideszi axiómák, ezért nem meglepő módon az említett tétel sem igaz. A körök kerülete bonyolultabb módon függ az átmérőtől és a középponttól. A távolságokat ugyanis mindig az adott geometrián belül kell érteni. Ha az euklideszi térbe beleteszel egy R sugarú gömböt, akkor az északi és a déli sark távolsága az euklideszi térben 2R, a gömb felületén azonban pi*R. Az északi és a déli sark között középen húzódó főkör ("egyenlítő") átmérőre pi*R sugarú kör, a kerülete pedig ennek csupán kétszerese, 2pi*R.
A görbült felületen mennyi a négyzet kerülete?
Négyzeten olyan négyszöget értünk, aminek az oldalai és a szögei is egyenlőek. Apriori nem világos, hogy ilyen egyáltalán létezik egy általános felületen (valószínűleg létezik, de ez bizonyításra szorul). Mindenesetre bármely felületen egy sokszög kerülete az oldalhosszainak összege. Tehát egy d oldalú négyzet kerülete mindig 4d. Viszont egy d oldalú négyzet átmérője nem gyök(2)d, mint az euklideszi geometriában. Tehát négyzet esetében a kerület/átmérő arány nem gyök(8), de még csak nem is konstans, mint az euklideszi geometriában.
Az ókori görögök nem definiálták a pi-t. Nyilván érdekelte őket, hogy a körkerület hogyan aránylik az átmérőhöz, de erre legfeljebb csak becsléseket adtak a körbe írt és a kör köré írt sokszögek segítségével. Az arányokat ők nem tekintették olyan számoknak, mint mi, pont azért, mert a valós szám fogalma egy bonyolult dolog.
Miért ne definiálták volna? Valószinűleg, először csak a 3.14-et adták meg, nem azt mondták rá, hogy pi. Ha valamit körül akartak keriteni, csak ki kellett számolni, hogy mennyi a kerülete, hogy mennyi epitőanyag kell hozzá. A 3.14-gyel való számolás egy jó értéket ad, még ma is.
A 3.14.... egy irracionális szám, de a 3.14 racionális. Nem ismerték a racionális számokat?
A pi-t (mint bármilyen más matematikai fogalmat) sokféleképpen lehet definiálni. Az egyik könyv így építi fel az anyagot, a másik könyv meg amúgy.
Ez igaz. De BÁRMELYIK számot sokféleképpen lehet definiálni. A pi-re mégis csak azért adunk meg definiciókat, mert az 1 átmérőjű kör kerülete 3.14. Ha ez nem igy lenne, akkor pi nem lenne érdekes, és senkinek se jutna eszébe definiálgatni.
Arról, hogy a 3.14...-et különbözőképpen definiáljuk.
Pl:
3.14....=1+1+1+0.14...
Igy, valóban végtelen számú definiciója lehet a pi-nek (3.14...-nek). És lehet felirni egyenleteket, úgy hogy a primszámok, páros számok, stb, szerepeljenek benne, bármit amit akarunk.
De tulajdonképpen ezt bármely számmal megcsinálhatjuk
Pl. legyen alfa=6.29
És akkor alfa-ra ugyanúgy felirhatunk egyenleteket.
Azért irunk a pi-re különböző egyenleteket, és nem alfára, mert a pi eredeti definiciója = k/d. És mivel a kör kerület és terület fontos, igy pi egy kiemelt szám lett.
Olyan felület természetesen van, amin egyes körök kerülete az átmérőjük 3-szorosa. A közönséges gömbfelületen is van ilyen kör.
Ez miért lenne igy?
A görbült felületen hogy van definiálva a kör, átmérő, kör kerülete? Mert ha ugyanúgy, mint a normál geometriában, akkor miért lenne az egyes körök kerülete különbözőképpen számolva? És miért nem lenne egységesen 3.14d?
A görbült felületen mennyi a négyzet kerülete? Nem 4d? ahol d=négyzet oldala. Akkor a négyzet kerülete is változó? Van amelyik négyetnek 3d a kerülete, van amelyiknek 3.5d, van amelyiknek 4d, és van amelyiknek 4.5d?
Tehát matematikailag létezik ilyen felület, mert ha minden kőrre nem is, de egy részére igaz.
Olyan felület természetesen van, amin egyes körök kerülete az átmérőjük 3-szorosa. A közönséges gömbfelületen is van ilyen kör. A topiknyitó viszont olyan geometriáról beszélt, ahol minden kör kerülete az átmérő 3-szorosa, a válaszomat is ehhez igazítottam.
Már csak az a kérdés, hogy az adott felület amire igaz mekkora lehet, illetve kiterjeszthető-e a végtelenbe?
Bármely sima felületen csak nagyon kevés körre igaz, hogy a kerület az átmérő 3-szorosa. Egy rögzített középpont körül a kellően kis sugarú körök egyike sem ilyen.
Már csak az a kérdés, hogy az adott felület amire igaz mekkora lehet, illetve kiterjeszthető-e a végtelenbe?
Rajzolj köröket egy gömbfelszínre. Ha kicsi a kör sugara a gömb sugarához képest, akkor közelit a kerület/átmérő a pi-hez, ha a gömb főkörének negyedével rajzolod akkor meg kettő.
"Abban talán megtudunk egyezni, hogy az Euklideszi tér koordináta tengelyei egyenesek."
Ennek semmi köze a kérdéshez, de ettől függetlenül butaság. Az Euklideszi térben nincsenek semmiféle koordinátatengelyek. Mi rakunk bele, ha akarunk és olyanokat, amilyeneket akarunk. Tetszőlegesen görbéket is rakhatunk. Néhány ilyet gyakran használunk is, sőt mindenki használt már, aki hengerkoordinátákban vagy szferikus polárkoordinátákban számolt ki valamit.
Ami már idetartozó hülyeség, hogy szerinted görbült síkon, vagy görbült geometriában:
"A "kör" kerülete / átmérője egy konstans számot ad, de nem lesz azonos az ismert Pi-vel. Lehet akár 3 is."
Pedig napnál világosabb, hogy nem adhat konstans arányt. Az a szám általában függeni fog a kör középpontjának helyzetétől és a kör sugarától is. Közel konstans csak azoknak a pontoknak a kis környezetében lévő kis körökre lehet, ahol közel nulla a görbület. Bárhol lévő és bármilyen körátmérőre csak nulla görbület esetén lesz konstans, arra meg épp 3.14...-et adja.
