Keresés

"div(v×B) ="

Ennek elemi szintem utána kell járnom.

(De most nagyon habzik a málnaszőr.)

"div(v×B) = -(rot B)v = div E"

Aha!

Formálisan alkalmaztad szorzatra a del/nabla operátort?

∇(v×B) = (∇v)×B + v(∇×B)

Ezt ellenőriznem kell.

Kijavítom az elírt előjelet:

div(v×B) = ∇•(v×B) = (rot v)B - (rot B)v = (∇×v)B - (∇×B)v = -(∇×B)v = -(rot B)v

= div E

Ha  v  konstans, akkor  rot v = 0

És mivel  rot B =/= 0 , az, ha van  v  irányú komponense, akkor:

div(v×B) = -(rot B)v = div E =/= 0

A homogén mágnes oldalán van B-nek rotációja, vagy ahol elektromos töltésáram van.

Tehát ezek szerint ott mozgás esetén elektromos töltéssűrűség mutatkozhat (v irányától függően), ami forrása E-nek.

Nem homogén mágnes esetén benne is. 

A részletes számolásokból az jön ki,

hogy feszültség indukálódhat,

például ha HK nem egyenletesen tekeri a szerkezetet.

Ez nem intuitív.

Most először azokat vegyük ki, ahol v változik.

E_x = v_x ∂_y B_y - v_y ∂_y B_x - v_z ∂_z B_x + v_x ∂_z B_z

E_y = v_y ∂_z B_z - v_z ∂_z B_y - v_y ∂_x B_x + v_y ∂_x B_x

E_z = v_z ∂_x B_x - v_x ∂_x B_z - v_y ∂_y B_z + v_z ∂_y B_y

Ez pedig a homogén mágneses mező "határán" bekövetkezhet.

Most tegyük fel, hogy csak Bz van és a tartomány szélén lecsökken.

E_x = v_x ∂_z B_z

E_y = v_y ∂_z B_z

E_z = - v_x ∂_x B_z - v_y ∂_y B_z

Tegyük fel, hogy a mozgás x irányban történik:

E_x = v_x ∂_z B_z

E_y = 0

E_z = - v_x ∂_x B_z

E_x =

  B_y ∂_y v_x + v_x ∂_y B_y - B_x ∂_y v_y - v_y ∂_y B_x

- B_x ∂_z v_z - v_z ∂_z B_x + B_z ∂_z v_x + v_x ∂_z B_z

E_y =

  B_z ∂_z v_y  + v_y ∂_z B_z - B_y ∂_z v_z - v_z ∂_z B_y

- B_y ∂_x v_x -  v_y ∂_x B_x + B_y ∂_x v_x + v_y ∂_x B_x

E_z =

  B_x ∂_x v_z + v_z ∂_x B_x - B_z ∂_x v_x - v_x ∂_x B_z

- B_z ∂_y v_y - v_y ∂_y B_z + B_y ∂_y v_z + v_z ∂_y B_y

Először gyomláljuk ki azokat a tagokat, ahol B változik...

E_x = B_y ∂_y v_x - B_x ∂_y v_y - B_x ∂_z v_z + B_z ∂_z v_x

E_y = B_z ∂_z v_y - B_y ∂_z v_z - B_y ∂_x v_x + B_y ∂_x v_x

E_z = B_x ∂_x v_z - B_z ∂_x v_x - B_z ∂_y v_y + B_y ∂_y v_z

Megfeleztük, bizonyos értelemben.

(Ha nem egyenletesen tuljuk, elvileg v változhat.)

Vegyük ki azokat a tagokat is, ahol v változik...

Nem marad semmi.

E = 0

Este kijavítom, mert úgy látom, egy negatív jelet elrontottam.  

igen

"div(v×B) = ∇•(v×B) = (rot v)B + (rot B)v = (∇×v)B + (∇×B)v = (∇×B)v = (rot B)v = div E"

Formálisan:

∇(v×B) = (∇×v)B + (∇×B)v

(∇×v) = 0

(∇×v)B = 0

Feltéve, hogy B véges. ;)

rot B = j

Ahol áram folyik, ugyebár.

j v = ?

div(v×B) = ∇•(v×B) = (rot v)B + (rot B)v = (∇×v)B + (∇×B)v = (∇×B)v = (rot B)v

= div E

Ha  v  konstans, akkor  rot v = 0

És mivel  rot B =/= 0 , az, ha van  v  irányú komponense, akkor:

div(v×B) = (rot B)v = div E =/= 0

A homogén mágnes oldalán van B-nek rotációja, és ahol elektromos töltésáram van.

Tehát ezek szerint ott mozgás esetén elektromos töltéssűrűség mutatkozhat (v irányától függően), ami forrása E-nek.

Nem homogén mágnes esetén benne is. 

Érzésem szerint az elgebrával van probléma.

(Vagy nekem van vele problémám.)

Mindenesetre az elemi műveletekre lebontott számolásban hiszek.

A Maxwell-egyenlet megmondja ekkor is, csakúgy, mint nem mozgó mágnes esetén. 

A vektorpotenciálnak van rotációja (szinte) mindenütt.

Viszont azt még nem tudom, hogy a mozgó mágnes esetén a mágneses mezőnek hol van rotációja.

Küzdök a számolással...

Többértelmű. Nem volt pontosan megnevezve, hogy minek a rotációjára gondoltok.

B = rot A

Ez mindenütt van.

(Elvileg csak az egyenes vezető közepén nincs. Tekercsnél viszont ott is.)

Csakhogy minket most inkább

rot B = ∂E/∂t

érdekel.

Valahol mindig elrontom a számolást. :(

Az a terv, hogy felírom az egymenetes tekercs áramát, és azt helyettesítem be.

Egyébként még wolfram koma is megfeküdt a vektori szorzat rotációjával. :(

Az eredménynél már nem tudta alkalmazni a szimbólum helyettesítési táblázatát.

Belátni a motorháztető alá...

https://www.wolframalpha.com/input?i=Curl%5B%7B%7BB_z+*v_y+-+B_y+*+v_z%7D%2C%7B-B_z+*+v_x+%2B+B_x+*+v_z%7D%2C%7BB_y+*+v_x+-+B_x+*+v_y%7D%7D%5D

Pedig még egyszerűsítettem is egy kicsit.

https://www.wolframalpha.com/input?i=Curl%5B%7B%7BC*v-B*w%7D%2C%7B-C*u%2BA*w%7D%2C%7BB*u-A*v%7D%7D%5D

Kristály?

"A példával azt próbáltam megmutatni, hogy a rotáció általában egy diffúz valami, nem valamiféle diszkrét  pontok."

Ki terjeszti ezt a hülyeséget?

Magnószalagra olyan sűrűn írhatsz fel mágneses jeleket, amennyire csak a domének engedik.

De már próbálkoznak a "Plenty of Room at the Bottom" módszerrel, hogy egy atomonként.

(Mondjuk azt a hőmozgás gyorsan szétveri, hűteni kell mikrokelvinre.)

A másik probléma, hogy a jegenyefák nem nőnek az égig.

Homogén mágneses mező vektorpotenciálja valami iy+jx.

Ez a végtelenhez tart. Nekem nagyon gyanús, hogy a rotáció egy eléggé lokális dolog.

Egyébként is, hol van a világ közepe? (Gyevi)

Hol a búbánatban vegyük fel egy ilyen vektorpotenciál kezdőpontját?

(Naugye!?)

Tegnap ígértem ábrát Feynman könyvéből.

A zárt görbe mentén integráljuk az érintő irányú komponenst.

Hülyeség volt.

Meg itt is:

Én:

Legyen csak egy konstans áramú vezető O hurok. Hol van itt a vezetőn kívül B-nek rotációja a térben? Sehol.

Erre te: Mindenütt.

Itt van e az állításod:

816 mmormota>

Az megvan, hogy ha mágnes van valahol, akkor a tér majdnem minden pontjában van rotáció?

Korábban nem ezt állítottad. Ezt én mondtam, te az ellenkezőjét. Hogy te mekkora egy ferdítő vagy! 

Egyáltalán nem, teee! 

Többször leírtam, hogy a mozgó mágnesben+oldalsó határfelületén (és a mozgó áramjárta vezetőben) a látszólagos elektromos polarizálódás. Nem mondtam olyat, hogy a vákuumban keletkezik töltés. Ne hazudozz már rólam! 

Hamis és letagadó hazug vagy. Nem kell beismerned, semmit, tisztán látszik.

Köszönettel tartozol, hogy valamit megértettem veled, és elmagyaráztam a helyes megoldást. Ennyi. 

Te nem tudom, miről beszélsz, de vagy nem tudsz olvasni, vagy valami zárlat van a fejedben a felfogásnál, de amiket itt állítasz rólam és az általam leírtakról, azok mind hamisak, ferdített hülyeségek, a te direkt értelmetlenné kifirgatásaid, hazugságaid... Értelmesen le van írva minden, amit mondtam, az a való, ez itt csak egy zagyvaság, amit azért vetítesz, mert így akarsz takarózni azellen, hogy valamit nem tudtál, és félremagyaráztál. Szánalmas vagy és sérült. De nekem mindegy, lényeg, hogy én értem, és tudom. Te meg azt hazudozol, amit akarsz. 

Volt egy ilyen eredményünk (a nyers erő módszerével):

M_x = B_y ∂_y v_x + v_x ∂_y B_y - B_x ∂_y v_y - v_y ∂_y B_x - B_x ∂_z v_z - v_z ∂_z B_x + B_z ∂_z v_x + v_x ∂_z B_z

M_y = B_z ∂_z v_y + v_y ∂_z B_z - B_y ∂_z v_z - v_z ∂_z B_y - B_y ∂_x v_x - v_x ∂_x B_y + B_x ∂_x v_y + v_y ∂_x B_x

M_z = B_x ∂_x v_z + v_z ∂_x B_x - B_z ∂_x v_x - v_x ∂_x B_z - B_z ∂_y v_y - v_y ∂_y B_z + B_y ∂_y v_z + v_z ∂_y B_y

Hasonlítsuk össze a neezetes azonosság alapján kapott tagokkal.

A(∇B) = i A_x ∙ (∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z) + j A_y ∙ (∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z) + k A_z ∙ (∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z)

B(∇A) = i B_x ∙ (∂_xA_x + ∂_yA_y + ∂_zA_z) + j B_y ∙ (∂_xA_x + ∂_yA_y + ∂_zA_z) + k B_z ∙ (∂_xA_x + ∂_yA_y + ∂_zA_z)

Először szétcincáljuk komponensekre... (És mindjárt az előjelet is nézzük).

i:

A_x ∙ (∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z) - B_x ∙ (∂_xA_x + ∂_yA_y + ∂_zA_z) =

= A_x∂_xB_x + A_x∂_yB_y + A_x∂_zB_z - B_x∂_xA_x - B_x∂_yA_y - B_x∂_zA_z

= v_x∂_xB_x + v_x∂_yB_y + v_x∂_zB_z - B_x∂_xv_x - B_x∂_yv_y - B_x∂_zv_z

j:

A_y ∙ (∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z) - B_y ∙ (∂_xA_x + ∂_yA_y + ∂_zA_z) =

= A_y∂_xB_x + A_y∂_yB_y + A_y∂_zB_z - B_y∂_xA_x - B_y∂_yA_y - B_y∂_zA_z

= v_y∂_xB_x + v_y∂_yB_y + v_y∂_zB_z - B_y∂_xv_x - B_y∂_yv_y - B_y∂_zv_z

k:

A_z ∙ (∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z) - B_z ∙ (∂_xA_x + ∂_yA_y + ∂_zA_z) =

= A_z∂_xB_x + A_z∂_yB_y + A_z∂_zB_z - B_z∂_xA_x - B_z∂_yA_y - B_z∂_zA_z

= v_z∂_xB_x + v_z∂_yB_y + v_z∂_zB_z - B_z∂_xv_x - B_z∂_yv_y - B_z∂_zv_z

Hasonlítsuk össze:

M_x = B_y∂_yv_x + v_x∂_yB_y - B_x∂_yv_y - v_y∂_yB_x - B_x∂_zv_z - v_z∂_zB_x + B_z∂_zv_x + v_x∂_zB_z

   ? = v_x∂_xB_x + v_x∂_yB_y + v_x∂_zB_z - B_x∂_xv_x - B_x∂_yv_y - B_x∂_zv_z

M_y = B_z∂_zv_y + v_y∂_zB_z - B_y∂_zv_z - v_z∂_zB_y - B_y∂_xv_x - v_x∂_xB_y + B_x∂_xv_y + v_y∂_xB_x

   ? = v_y∂_xB_x + v_y∂_yB_y + v_y∂_zB_z - B_y∂_xv_x - B_y∂_yv_y - B_y∂_zv_z

M_z = B_x∂_xv_z + v_z∂_xB_x - B_z∂_xv_x - v_x∂_xB_z - B_z∂_yv_y - v_y∂_yB_z + B_y∂_yv_z + v_z∂_yB_y

   ? = v_z∂_xB_x + v_z∂_yB_y + v_z∂_zB_z - B_z∂_xv_x - B_z∂_yv_y - B_z∂_zv_z

(Nehezen engedi színeszni. Többször neki kellett futni. Bosszantó.)

A két eredmény nem egyezik. :(

Kételkedek...

∇A = ∂_xA_x + ∂_yA_y + ∂_zA_z

∇B = ∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z

Mindkettő skalár.

Ezt megszorozva egy vektorral:

A(∇B) = i A_x ∙ (∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z) + j A_y ∙ (∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z) + k A_z ∙ (∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z)

B(∇A) = i B_x ∙ (∂_xA_x + ∂_yA_y + ∂_zA_z) + j B_y ∙ (∂_xA_x + ∂_yA_y + ∂_zA_z) + k B_z ∙ (∂_xA_x + ∂_yA_y + ∂_zA_z)

Jelent valamit a skaláris szorzás zárójelezése?

Most először számoljuk ki, ha a differenciál operátort balról skalárisan szorozzuk:

A∇ = ∂_xA_x + ∂_yA_y + ∂_zA_z

B∇ = ∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z

Szerintem ez ugyanaz, mint fent.

Ez már nem tud operátorként hatni.

(A∇)B = (∂_xA_x + ∂_yA_y + ∂_zA_z) ∙ (i B_x+j B_y+k B_z)

(B∇)A = (∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z) ∙ (i A_x+j A_y+k A_z)

(A∇)B = i B_x ∙ (∂_xA_x+∂_yA_y+∂_zA_z) + j B_y ∙ (∂_xA_x+∂_yA_y+∂_zA_z) + k B_z ∙ (∂_xA_x+∂_yA_y+∂_zA_z)

(B∇)A = i A_x ∙ (∂_xB_x+∂_yB_y+∂_zB_z) + j A_y ∙ (∂_xB_x+∂_yB_y+∂_zB_z) + k A_z ∙ (∂_xB_x+∂_yB_y+∂_zB_z)

Hasonlítsuk össze:

A(∇B) = i A_x ∙ (∂_xB_x+∂_yB_y+∂_zB_z) + j A_y ∙ (∂_xB_x+∂_yB_y+∂_zB_z) + k A_z ∙ (∂_xB_x+∂_yB_y+∂_zB_z)

(B∇)A = i A_x ∙ (∂_xB_x+∂_yB_y+∂_zB_z) + j A_y ∙ (∂_xB_x+∂_yB_y+∂_zB_z) + k A_z ∙ (∂_xB_x+∂_yB_y+∂_zB_z)

B(∇A) = i B_x ∙ (∂_xA_x+∂_yA_y+∂_zA_z) + j B_y ∙ (∂_xA_x+∂_yA_y+∂_zA_z) + k B_z ∙ (∂_xA_x+∂_yA_y+∂_zA_z)

(A∇)B = i B_x ∙ (∂_xA_x+∂_yA_y+∂_zA_z) + j B_y ∙ (∂_xA_x+∂_yA_y+∂_zA_z) + k B_z ∙ (∂_xA_x+∂_yA_y+∂_zA_z)

A zárójelezés megfordítja a sorrendet, ahogy ez várható volt.

Vagyis a kétszeresét kell venni az első két tagnak. Az utolsó két tag ugyanaz.

Nem tette be a képet. :(

M_x = B_y ∂_y v_x + v_x ∂_y B_y - B_x ∂_y v_y - v_y ∂_y B_x - B_x ∂_z v_z - v_z ∂_z B_x + B_z ∂_z v_x + v_x ∂_z B_z

M_y = B_z ∂_z v_y + v_y ∂_z B_z - B_y ∂_z v_z - v_z ∂_z B_y - B_y ∂_x v_x - v_x ∂_x B_y + B_x ∂_x v_y + v_y ∂_x B_x

M_z = B_x ∂_x v_z + v_z ∂_x B_x - B_z ∂_x v_x - v_x ∂_x B_z - B_z ∂_y v_y - v_y ∂_y B_z + B_y ∂_y v_z + v_z ∂_y B_y

It's a big mess. :(

Gondoltam, hogy büdös nehéz lesz. De azt nem, hogy ennyire.

Hogyan lehet ebből kikaparni a gesttenyét?

Guess && Cry Try!

Megpróbálhatnánk tényezőnként venni a szorzat rotációját, és aztán vektoriálisan szorozni őket.

Nem biztos, hogy beválik az ötlet.

Vagy pedig...

Na de az első sor utolsó két tagja miben különbözik az első két tagtól?

A zárójelezés megfordítja a sorrendet. Változtat ez valamin?

E = v×B:

 i   j   k

v_x v_y v_z

B_x B_y B_z

E_x = v_y B_z - v_z B_y

E_y = v_z B_x - v_x B_z

E_z = v_x B_y - v_y B_x

Most jön a totáció operátora. Adjunk neki valamilyen betűt... M (mert csak)

M_x = ∂_y E_z - ∂_z E_y = ∂_y (v_x B_y - v_y B_x) - ∂_z (v_z B_x - v_x B_z) = ...

M_y = ∂_z E_x - ∂_x E_z = ∂_z (v_y B_z - v_z B_y) - ∂_x (v_x B_y - v_y B_x) = ...

M_z = ∂_x E_y - ∂_y E_x = ∂_x (v_z B_x - v_x B_z) - ∂_y (v_y B_z - v_z B_y) = ...

Nézzük tagonként:

∂_y (v_x B_y - v_y B_x) = B_y ∂_y v_x + v_x ∂_y B_y - B_x ∂_y v_y - v_y ∂_y B_x

∂_z (v_z B_x - v_x B_z) = B_x ∂_z v_z + v_z ∂_z B_x - B_z ∂_z v_x - v_x ∂_z B_z

∂_z (v_y B_z - v_z B_y) = B_z ∂_z v_y + v_y ∂_z B_z - B_y ∂_z v_z - v_z ∂_z B_y

∂_x (v_x B_y - v_y B_x) = B_y ∂_x v_x + v_x ∂_x B_y - B_x ∂_x v_y - v_y ∂_x B_x

∂_x (v_z B_x - v_x B_z) =  B_x ∂_x v_z + v_z ∂_x B_x - B_z ∂_x v_x - v_x ∂_x B_z

∂_y (v_y B_z - v_z B_y) =  B_z ∂_y v_y + v_y ∂_y B_z - B_y ∂_y v_z - v_z ∂_y B_y

Ha nem rontottam el. Ebből kellene rekonstruálni az összetett operátort. Sejtettem, hogy ez nehéz lesz.

Ki kell számolni...

rot E = rot (v×B)

például egymenetes tekercsre.

(De előbb megnézem a selyemhernyó begubózását. Didaktikailag érdekes. A retorika, hogy a tanulókban fel sem merül ilyen kérdés.)