Miután a Skalár-e az egydimenziós vektor?-ral már úgyis jól lejárattam magam, így bátorkodom előhozni egy másik gyermekkori nümükémet.
Például itt az a csoda, amit a nemrég fellelt Archimédeszi Palimpszesztben is megtaláltak, miszerint a(z azonos magasságú és átmérőjű) henger=gömb+kúp
Mindigis zavart, hogy milyen szépek lennének a képletek, ha az a fránya Pi pontosan három lenne, és
nem 3,14...
Elhülyéskedtem a kérdéssel, de a legtöbb, amit a fagyos közönyön kívül ki tudtam váltani vele, az a fagyos elutasítás volt.
Talán mert belekevertem a Jóistent is.
Oly módon, hogy a Jóisten nem a térdén hajlította meg a teret (Pi<3 lett volna), nem is az ujjával csettintve (Pi=3 maradt volna) hanem ajkaival pontosan kiszámítva cuppantott (Pi=3,14... lett), mikor teret teremtette.
(Az Élet Értelme: http://zorroaszter.nolblog.hu/archives/2012/06/03/Az_Elet_Ertelme/)
De talán itt az indexen vannak érzőbb szívű olvtársak is.
Tehát a végső kérdés (The Ultimate Question):
Létezhet-e olyan speciálisan horpadt nemeuklideszi tér, ahol a pi pont három?
És ha létezik, ez lenne minden geometria ősanyja?
Ezek nem hasraütésszerű dolgok, nem a dolgok "variálása", hanem mély matematika, az igazság maga.
Biztos, hogy nem hasraütésre megy. És gondolom, hogy rengeteg időbe tartott kifigurálni ezt a primszámos egyenlőséget.
De szerintem variálásnak variálás, mert olyan egyenletet akarunk felirni, amiben szerepelnek a primszámok, és a 3.14...
A 3.14...-nek csakis a kör miatt van jelentősége.
A matematika nem mély igazság, hanem egy emberi konstukció, mint a sakk játék, vagy a latin (vagy bármelyik) nyelv.
Altalában akik jók matekból, jók nyelvtanból is (anyanyelv és idegen nyelv). Azért mert, mind a kettőben szabályokat kell alkalmazni. Egy forditás (pl. latinból magyarra) hasonló egy matek példa megoldásához.
A mateknak semmi köze a valós világhoz. Csak a természetes számok fogalmáig. 1, 2 láb, 1, 2, 3,...10 ujj, stb. Már a negativ számok sem a valóságot jelentik. Egyszer adósságot jelenthet, máskor pedig fagypont alatti hőmérsékletet, stb.
Igaz, hogy a matek sok részének az emberek számára van jelentősége. Ezért határozzuk meg a hossz, kerület, stb. fogalmát, amikhez számokat rendelünk. De ezeknek a számoknak csak relativ (egymáshoz viszonyitott), nem objektiv, értelmük van.
A matematikában (és fizikában) nagyon sok minden a körre és a derékszögű háromszögre épül (Pitagorász tétel, trigonometria, stb.)
A nem-euklideszi geometria is az euklideszi geometria fogalmaival operál.
Ez nem igaz. A görbület nem az euklideszi geometria fogalma, hanem a nem-euklideszié. Hasonlóan a horociklus nem az euklideszi geometria fogalma, hanem a hiperbolikusé (ami egy nem-euklideszi geometria).
Képzeletbeli világok matematikájával én nem foglalkozom.
A matematika nem képzeletbeli, hanem gondolati tudomány. Egy matematikai elmélet alapfogalmakkal és axiómákkal indít, majd definiált fogalmakkal és bizonyított tételekből áll. A hiperbolikus síkot nem lehet távolságtartó módon beágyazni a háromdimenziós euklideszi térbe, mint mondjuk a gömbfelületet. Ezért számodra a hiperbolikus geometria nem valóságos. Szived joga, de a matematikusoknak (Gauss, Bolyai, Lobacsevszkij) ugyanolyan valóságos, mint az euklideszi. Valójában a hiperbolikus geometria sokkal izgalmasabb matematikailag, mint az euklideszi. A számelmélet nagyon sok tétele alapul a hiperbolikus geometrián, olyanok is, amiknek látszólag semmi köze hozzá (pl. egy szám osztóinak száma hogyan korrelál a következő szám osztóinak számával).
A nem-euklideszi geometria is az euklideszi geometria fogalmaival operál.
Vágj ki egy kört, és ragasz rá egy labdára. A labda jelképezi a görbült geometriát.
A kör minden értéke ugyanaz marad, mint a sikban, csak elgörbül.
Képzeletbeli világok matematikájával én nem foglalkozom. Akik pedig ezekkel foglalkoznak, azt is megkérdezhetnék, hogy Tündérországban mennyi a kör kerülete és a négyzet átmérője. :-)
Nem értem, hogy a matematikát miért kell elbonyolitani és túlmisztifikálni. A pi azért 3.14, mert a négyzet kerülete definició szerint 4.
Először is, a pi nem 3.14, hanem egy 3.14 és 3.15 közötti valós szám. Az euklideszi geometriában tétel, hogy minden kör kerülete az átmérő egy konstansszorosa, és ezt a konstansot hívjuk pi-nek. Az egy másik tétel, hogy ez a konstans 3.14 és 3.15 közé esik. Megint másik tétel, hogy ez a konstans nem írható fel két egész szám hányadosaként, sőt nem is gyöke egész együtthatós polinomnak. A hiperbolikus geometriában (példának okáért) egészen más a helyzet, ott a kerület az átmérővel exponenciálisan növekszik, tehát ott nincs is semmiféle konstans, mint az euklideszi geometriában.
Nincs túlbonyolítva a matematika. A világ bonyolult, és ehhez igazodik a matematika.
Mindig is jó voltam matekból, végig 5-ösöket kaptam.
Ennek az volt a titka, hogy mindent megértettem (a többség pedig próbálta a képleteket memorizálni).
Én csak úgy tudok megérteni valamit, ha látom, hogy mi a kiindulópont, és racionálisan, lépésről, lépésre, hogyan lehet felépiteni.
Egy nyelvet is igy tanulsz: tudni kell a szavakat, és a nyelvtani szabályokat, és a kivételeket.
Nem értem, hogy a matematikát miért kell elbonyolitani és túlmisztifikálni. A pi azért 3.14, mert a négyzet kerülete definició szerint 4. És látjuk, hogy a kör és négyzet kerülete közel áll egymáshoz. Ránézésre én kb. 3.3-t mondanék.
Ezt éppen valamelyik nap magyaráztam egy gimnazistának, mert azt mondta, hogy semmit sem ért a matekból, hogy mi miért van, csak megtanulja. Mondjuk, ő az alkalmazását is megtanulja, és jó matekból.
Ezekből az elmisztifikálasokból születnek az ilyen topikok, mint ez: Isten a szájával csettintett és azért a pi 3.14, és nem 3.
Igen, ez jó érv, ha ez egy humoros topik. :-) Ez egy humoros topik?
Egy Riemann-sokaság definíció szerint sima sokaság (smooth manifold). A kúpfelület a csúcsában (akár egyet veszel, akár kettőt állítasz szembe) nem sima a csúcsában. Pont azért hívjuk csúcsnak, mert nem sima. A sima azt jelenti köznapilag, hogy nem hegyes. A definíciót megtalálod itt.
A matematikában szokás a fogalmakat definiálni (vagy alapfogalmak esetében axiomatikusan megragadni őket). Ha nem definiálsz valamit (vagy nem ragadod meg őket axiomatikusan), akkor értelmetlen a rá vonatkozó kijelentés vagy kérdés.
A "horpadt tér" nem egy matematikai fogalom, szemben a "Riemann-sokaság" és a "Banach-tér" fogalmakkal, amikről beszéltem. Még egyszer összefoglalom, mert nem vagyok benne biztos, hogy eljutott hozzád: a Riemann-sokaságok körében nincs a kívánalmadnak megfelelő geometria, a Banach-terek körében viszont van pontosan egy ilyen geometria.
Mint említettem, nem kerekítésről, sem átnevezésről, sem nem egyéb trükközésről lenne szó. Hanem olyan térről, ahol a tér minden pontján bármely kör kerülete pontosan háromszor nagyobb az átmérőnél.
Ez egy speciálisan horpadt tér lenne.
Szerintem egyébként ennek a horpadtságnak görbülete, maga a horpadtság eleve nem írható le lepedőseregekkel, de ebben végülis nem vagyok 100%-ig biztos.
És emiatt a horpadtság miatt nem is tudjuk könnyen elképzelni, mert hát az a bizonyos horpadás az hová horpad be? Rá lehetne vágni, hogy egy másik dimenzióba, de itt azt mondjuk, hogy ez ugyanolyan háromdimenziós mint a szokásos euklideszi.
De nem akarom konkretizálni, mert a Gondolatgyilkos Kommandó nyomban támadásba lendül :o)
Szorzatról volt szó, nem összegről. Egyáltalán nem mindegy, hogy miket szorzol össze, mennyire szép az eredmény, mennyire nehéz bizonyítani, és mindez mire jó. Mint mondtam, az 1-p-2 tényezők szorzatára (ahol p a prímeken fut végig) van szép képlet a pi segítségével, az 1-p-4 tényezők szorzatára is van ilyen szép képlet, de az 1-p-3 tényezők szorzatára máig megoldatlan probléma, hogy van-e ilyen. Ezek nem hasraütésszerű dolgok, nem a dolgok "variálása", hanem mély matematika, az igazság maga.
Amúgy a prímek reciprokainak összege is végtelen. Ha x-ig összeadod a prímeket, akkor korlátos hibán belül ln(ln(x))-et kapsz, ami x-szel a végtelenhez tart. Ezt is tudta már Euler.
Nem világos, mit értesz "egyéb lehetőségeken". Ahogy a topiknyitó sem mondta meg precízen, mit ért "geometria" alatt.
A Riemann-sokaság egy precíz matematikai fogalom, ezt szokás "görbült tér" alatt érteni. Fontos, hogy minden pontban legyen görbület (a kúppalást pont nem ilyen). Mivel körökről van szó, érdemes a kétdimenziós Riemann-sokaságokra hagyatkozni (az n-dimenziós esetben magyarázni kellene, mit jelent a kétdimenziós kör, és a végén visszajutnánk a kétdimenziós esetre). Kétdimenziós Riemann-sokaságon nem teljesül a topiknyitó kívánalma, hogy minden kör kerülete az átmérő 3-szorosa legyen. Elmagyaráztam részletesen, miért.
Vannak egyéb lehetőségek, pl. (kétdimenziós) Banach-terek. Itt már van egyetlen megoldás (izometria erejéig). Ezt is leírtam részletesen. Ironikus módon évekkel ezelőtt ezt már leírta más ugyanebben a topikban, de szemmel láthatólag ez sem jutott el a topiknyitóig. Itt egyesek nem értik, ha valami nem létezik, de azt se értik, ha valami létezik. Kérdés, hogy akkor mit értenek, érdemes-e írni ide egyáltalán. Gyanítom, hogy nem.
Ha az euklideszi térbe beleteszel egy R sugarú gömböt, akkor az északi és a déli sark távolsága az euklideszi térben 2R, a gömb felületén azonban pi*R. Az északi és a déli sark között középen húzódó főkör ("egyenlítő") átmérőre pi*R sugarú kör, a kerülete pedig ennek csupán kétszerese, 2pi*R.
Az É/D sark távolsága a gömbön tulajdonképpen egy É/D félkör. Csak az É/D félkör "egyenes vonalnak" van átnevezve. És a félkörnek pontosan az a kerülete, ami az euklideszi geometriában: pi*R!
Az egész kerület pedig 2pi*R, mint az euklideszi geometriában. Az egyenlitő kör (K/NY kör) fele pedig átmérőnek van nevezve. De az egyenlitő kör kerületét nem az egyenlitő "átmérővel" számoljuk, hanem ahogyan kell: a gömb sugarával.
Ebben a példában keresztmetszeteket veszünk, úgy kapunk 2 kört.
A gömbre rajzolt körök kerülete pedig kiszámolható úgy, ahogy az euklideszi geometriában: 3.14d, ahol d a rajzolt kör átmérője. Ezeket a köröket ki lehet simitani az euklideszi geometriában.
Tehát egy d oldalú négyzet kerülete mindig 4d.
De akkor a kör kerülete is 3.14d, mivel a kör köré egy négyzet rajzolható, és a sarkok levágásával 3.14-et kapunk, 4 helyett.
Viszont egy d oldalú négyzet átmérője nem gyök(2)d, mint az euklideszi geometriában.
Miért nem? Egy négyzetet rá ragaszthatsz egy gömbre (mondjuk egy labdára). Az nem számit, hogy a négyzet a sikban, vagy a gömbön van, az értékek nem változnak. Tegyük fel, hogy zsinórokat raksz az oldalakra, és az átmérőkre. A zsinór hossza nem változik attól, hogy a sikban, vagy a gömbön van a négyzet.
Ez is csak a 3.14.. = 3+0.14... bonyolitott változata.
Ja, persze, ezért gondolkoztak rajta évtizedeket a XVII. századi matematikusok.
p1+p2+p3+p4+... = x*pi, ahol x valamilyen szám, pi=3.14...
Ha a prímeket elkezded összeadogatni, akkor végtelent kapsz. Hiszen végtelen sok prímszám van, és mindegyik nagyobb 1-nél. Az általam emlegett
prodp(1-p-2) = 6/pi2
képletben a bal oldal egy értelmes valós szám (konvergens a szorzat), és a dolog érdekessége, hogy az 1/pi2 egy racionális számszorosa. Máig megoldatlan probléma, hogy a prodp(1-p-3) szorzat racionális számszorosa-e az 1/pi3-nek. Valószínűleg nem.
akkor tovább variáljuk, amig meg nem kapjuk ezt az összefüggést, amit te felirtál
Hát elég sokat kell variálni, hogy megkapjuk. Ha már ilyen egyszerűnek tartod, akkor mondd már meg mi a megfelelő képlet a prodp(1-p-6) szorzatra? Variáld már ki nekem, kérlek.
Ha egymásba helyezed az euklideszi térbe ágyazott kúpfelületeket, akkor visszakapod az euklideszi teret. Nem tudod meghekkelni, amit mondtam, mert az egy matematikai tétel. Egy görbült (sima) felületen egy fix középpont körüli kis sugarú körök kerülete aszimptotikusan az átmérőjük pi-szerese. Továbbá ismétlem, amit mondtam: a kúpfelület nem görbült felület, mert a csúcsában nincs görbület (a felület ott nem sima, hanem megtörik).
Van-e olyan rendszer, ahol a kör kerülete nem 3.14d? NINCS - amennyiben a kör, kör kerülete és átmérője ugyanúgy van definiálva, mint az euklideszi geometriában.
Hibás logika. Attól, hogy valami egy X elméletben ugyanúgy van definiálva, mint az Y elméletben, attól még az X elméletben egészen más dolgok lehetnek igazak rá, mint az Y elméletben. Pl. a -1 szám ugyanazt jelenti a valós számok körében, mint a komplex számok körében, de az előbbiben nincs négyzetgyöke, az utóbbiban meg van.
A pi-t nem az euklideszi geometrián belül definiáljuk, hanem az euklideszi geometriából kiindulva definiáljuk: a pi az euklideszi egységkör félkerülete. Egy valós szám, amiről az ókori görögök még nem beszéltek, mert nem ismerték a valós számokat (persze kapisgálták a dolgot az arányok fogalmán keresztül). És mint ilyen a pi használható (és használjuk is) minden olyan elméletben, ahol számokról beszélünk. A hiperbolikus geometriában, a valószínűségszámításban, stb. A pi-ről kiderült, hogy meglepően fontos, jóval túlmutat az euklideszi geometrián. Ezért nem is variáljuk a jelentését. A pi ugyanazt a valós számot jelentette 300 évvel ezelőtt, mint most.
Olvasd el és értsd meg, amit a 291-es üzenetben írtam.
Mivel a kúp felületek egymásba helyezhetőek, anélkül, hogy ütköznének (bizonyos irányba párhuzamosan eltolható), kiterjeszthető 3 dimenzióba is, s bármely háromdimenziós pont lehet egy kúp csúcsa is, tehát az említett körök középpontja.
Azon a bizonyos kúpfelületen csak azokra a körökre igaz a kívánalom (hogy a kerület az átmérő 3-szorosa legyen), amiknek középpontja a kúp csúcsa. A többi körre nem igaz. Jegyezzük meg, hogy egy kúpfelület nem görbült felület, mert a csúcsában nem sima (ott nincs semmiféle görbület). Egy görbült felületen az van, amit mondtam korábban sokszor: bármely rögzített pont körül a kellően kicsi körök kerülete jó közelítéssel az átmérő pi-szerese, ergo nagyobb az átmérő 3-szorosánál.
"Rajzoljál köröket, és oszd el a kerületét az átmérőjével."
Ha kicsit körülnéznél, akkor látnád, hogy ezen már egy ideje túlléptünk
Ha túlléptünk, akkor miért gondolod, hogy a pi lehet 3? Vagy hogyan gondolod?
Igen, a nem-euklideszi geometriában, a pi lehet 3, ha igy DEFINIÁLJUK a pi-t. Sőt, az euklideszi geometriában is lehet 3, ha igy definiálnánk.
Az alfát pedig definiálhatjuk 1-nek, a bétát pedig 2-nek. Bármelyik görög (és nem görög) betűt definiálhatunk bárhogyan.
Tehát, igen, a pi LEHET 3 bármelyik rendszerben, ha azt mondjuk, hogy
pi = 3, definició szerint.
Ha viszont a kör kerületére gondolsz, akkor az 3.14d, és ezt a 3.14...-et neveztük el pi-nek.
Van-e olyan rendszer, ahol a kör kerülete nem 3.14d? NINCS - amennyiben a kör, kör kerülete és átmérője ugyanúgy van definiálva, mint az euklideszi geometriában.
Minden geometria az euklideszi geometriára épül, mert az euklideszi geometriában definiált dolgok másfajta geometriában is úgy vannak definiálva. Lehet-e olyan geometria, ahol a kör, kerület, stb. másképp van definiálva? Valószinűleg igen, de tudomásom szerint ilyen jelenleg nincs a hivatalos matematikában.
