Miután a Skalár-e az egydimenziós vektor?-ral már úgyis jól lejárattam magam, így bátorkodom előhozni egy másik gyermekkori nümükémet.
Például itt az a csoda, amit a nemrég fellelt Archimédeszi Palimpszesztben is megtaláltak, miszerint a(z azonos magasságú és átmérőjű) henger=gömb+kúp
Mindigis zavart, hogy milyen szépek lennének a képletek, ha az a fránya Pi pontosan három lenne, és
nem 3,14...
Elhülyéskedtem a kérdéssel, de a legtöbb, amit a fagyos közönyön kívül ki tudtam váltani vele, az a fagyos elutasítás volt.
Talán mert belekevertem a Jóistent is.
Oly módon, hogy a Jóisten nem a térdén hajlította meg a teret (Pi<3 lett volna), nem is az ujjával csettintve (Pi=3 maradt volna) hanem ajkaival pontosan kiszámítva cuppantott (Pi=3,14... lett), mikor teret teremtette.
(Az Élet Értelme: http://zorroaszter.nolblog.hu/archives/2012/06/03/Az_Elet_Ertelme/)
De talán itt az indexen vannak érzőbb szívű olvtársak is.
Tehát a végső kérdés (The Ultimate Question):
Létezhet-e olyan speciálisan horpadt nemeuklideszi tér, ahol a pi pont három?
És ha létezik, ez lenne minden geometria ősanyja?
Nem szempont, hogy közvetlen haszna legyen egy matematikai konstrukciónak.
Ez rendben is van. De akkor ne mondjuk, hogy a matematikával a valós világot irjuk le. A sakk is egy emberi konstrukció, és senki sem mondja, hogy a sakkal a valós világot irjuk le.
El sem tudom képzelni, hogy mire jó egy geometria, ahol nincsenek sokszögek, és ahol a kerület 3-szorosa az átmérőnek. Még rosszabb, mint a sakk. A sakkról mindenki tudja, hogy egy játék. Az ilyen-fajta geometriával pedig csak összezavarjuk az embereket. Az emberek többsége még az egyszerű matematikát sem érti.
Nem szempont, hogy közvetlen haszna legyen egy matematikai konstrukciónak. Aki érdekel az foglalkozik vele, akit nem, az nem. Az ember kíváncsi lény, felvet problémákat, és igyekszik ezekre választ találni.
Ettől még néha hasznot hozhatnak olyan konstrukciók is, amikről megalkotásuk pillanatában nem gondolták volna.
Szerinted a Banach tér, ahol állitásod szerint sokszögek sincsenek, valóságos dolog?
A gömbi (görbült) geometriát, ahol a gömbön vannak körök, vonalak, sokszögek, stb. valós dolognak tartom. Ezt irtam korábban.
Az euklédeszi és gömbi geometria annyiban valóságos, hogy az ember számára fontos összefüggéseket megtudunk. Ezek segitenek az épitészetben, gépek tervezésében, stb. Bár a számok relativak (pl. hossz), de mivel ez közös megegyezésen alapul (méter, stb), az ember számára hasznos.
A technikához (pl. hajó, ház épités) valóban szükséges alap szintű matematika
A mai élethez (fizika, űrkutatás, gyógyszerkutatás, számítástechnika, telekommunikáció, GPS, szórakoztatóipar, stb.) egy sóhajnyival magasabb szintű matematika szükséges. Maradjunk annyiban, hogy mivel nem tudsz sok matematikát, az alkalmazásairól se tudsz sokat. Például nem ismered a görbület fogalmát. Akkor miként tudhatnád, hogy a GPS-ben hogyan kerül alkalmazásra ez a fogalom? Pedig a kettő között még igen hosszú az út (a görbület fogalmát Gauss, majd Riemann találta ki 150-200 évvel ezelőtt, az általános relativitáselméletet Einstein 100 évvel ezelőtt, az első GPS-t meg 40 évvel ezelőtt alkották meg).
Az pedig, hogy mi az objektív, szintén filozófiai kérdés.
Nagyon nem. Lásd a 326-os üzenetet. Hasonló és rokon példa a Riemann-zeta és a függvényegyenletének felfedezése, amelyben szerepel a pi. Valójában a négyzetszámok reciprokösszege a zeta(s) értéke az s=2 pontban. A kiindulási kérdésnek (hány prímszám van x-ig) köze sem volt a pi-hez. Egyszerűen a pi sok helyen és váratlanul előjön, ezért híres konstans. Nem pedig azért, mert mi híressé tettük vagy híressé akartuk volna tenni.
A második bekezdést elmondhattam volna egyszerűbben is. Ime.
A kérdésedre itt az igazi válasz. Tekintsük a szokásos euklideszi síkot, és azon rögzítsünk egy szabályos hatszöget. A hatszög alatt a határoló oldalszakaszokat értjük, a hatszög belsejét nem. Jelölje H(P,r) azt a szabályos hatszöget, ami egyállású a rögzített hatszöggel, középpontja a P, sugara az r. Most definiálunk egy új távolságfogalmat a síkon. A P-től r "új távolságra" levő pontok halmaza definíció szerint legyen a H(P,r). Meggondolható, hogy így egy metrikus teret, valójában Banach-teret kapunk. Ebben az új geometriában definíció szerint a H(P,r) halmazok a körök. Meggondolható, hogy H(P,r) átmérője (az új geometriában) 2r, a kerülete (az új geometriában) pedig 6r (az átmérő 3-szorosa). Érdekesség: 1976-ban igazolták, hogy a 2-dimenziós Banach-terek körében (egybevágóság erejéig) a fent leírt geometria az egyetlen, amiben minden kör kerülete az átmérő 3-szorosa.
Az előző üzenetemben bemutattam az egyetlen 2-dimenziós Banach-teret, amiben minden kör kerülete az átmérő 3-szorosa. Ebben a térben nincsenek szögek, tehát értelmetlen a négyzet (vagy bármilyen szabályos sokszög) fogalma.
Azok a geometriák, amikben szöget is lehet mérni, a Riemann-sokaságok. Ezek körében nincs olyan geometria, amelyben minden kör kerülete az átmérő 3-szorosa lenne. Az oknak semmi köze a négyzetekhez (általános Riemann-sokaságban a négyzetek létezése sem triviális kérdés, már egy gömbfelületen sem az). Elmondtam a valódi okot (pontosabban egy helyes bizonyítást), adtam referenciát, stb.
Maradjunk annyiban, hogy a matematika bonyolult és nehéz. Nem azért, mert mi, emberek ilyennek akarjuk, ilyennek csináljuk, hanem mert ilyen a világ. Aki pedig kevés matematikát tanult (megállt az érettséginél vagy előtte), az csak nagyon korlátozottan tud hozzászólni matematikai kérdésekhez. Sajnos ez van. Nincs királyi út! Most már tényleg befejezem.
milyen az a geometria, ahol a kör kerülete 3-szorosa az átmérőnek?
Elnézést, az előző üzenetemben egy másik kérdést válaszoltam meg (nevezetesen hogy a gömbi geometriában melyik kör kerülete 3-szorosa az átmérőnek).
A kérdésedre itt az igazi válasz. Tekintsük a szokásos euklideszi síkot egy origóval. A síkon rögzítsünk egy szabályos hatszöget, aminek középpontja az origó, átmérője 2. A hatszög alatt a határoló oldalszakaszokat értjük, a hatszög belsejét nem. Jelölje H(r) ennek a rögzített hatszögnek az origóból r-szeresre nagyított képét. Most definiálunk egy új távolságfogalmat a síkon. Vegyünk két különböző pontot, P-t és Q-t. A PQ vektort toljuk fel az origóba. A P és a Q pont "új távolsága" definíció szerint az az egyetlen pozitív r szám, amivel az eltolt vektor a H(r)-re esik. Nem nehéz meggondolni, hogy ebben az új geometriában az r sugarú körök éppen a H(r) hatszögek eltoltjai: az átmérőjük 2r, a kerületük 6r. Tehát az új geometriában minden kör kerülete az átmérő 3-szorosa. Érdekesség: 1976-ban igazolták, hogy a 2-dimenziós Banach-terek körében (egybevágóság erejéig) a fent leírt geometria az egyetlen, amiben minden kör kerülete az átmérő 3-szorosa.
Az euklideszi térbe helyezzünk egy R sugarú gömbfelületet. A továbbiakban minden távolságot (körök átmérőjét és kerületét) ezen a gömbfelületen (tehát a gömbfelület geometriájában) értünk.
1. Bemelegítés: a gömbfelület egyik fele a gömbfelületen egy pi*R átmérőjű kör, amelynek kerülete 2pi*R, tehát az átmérő 2-szerese.
2. A kérdésedre a válasz: a gömbfelületen az r sugarú kör kerülete 2pi*R*sin(r/R). Ez pontosan a sugár 6-szorosa (tehát az átmérő 3-szorosa), ha
2pi*R*sin(r/R) = 6r
azaz
sin(r/R) = (3/pi)*(r/R)
azaz
r/R = 0.5235987755982988730...
Ha bármi nem világos, ne tőlem kérdezd!
P.S. Ez a 287-es üzenetem variánsa. Ott a végeredményt elírtam, az üzenet végén levő 1.269422717049605164... számnak a fenti 0.5235987755982988730... számnak kellett volna lennie. A hiba abból adódott, hogy a Mathematica-ban figyelmetlenség folytán nem a sin(x)/x=3/pi egyenletet oldottam meg numerikusan, hanem a sin(x)=3/pi egyenletet.
Gergő szerint van ilyen geometria, ahol ez a 3-szoros dolog igaz.
Én nem tudom elképzelni, mert szerintem mindig, minden rendszerben lehet a kör köré négyzetet rajzolni, és a négyzet kerülete 4 (a négyzet és kerület definiciójából), és a sarkokat levágva 3.14..-et kapunk.
Te is állitod, hogy van ilyen geometria. Akkor itt hogyan kell elképzelni a kört? Nem lehet köré négyzetetet rajzolni?
Vannak primitív törzsek az őserdő mélyén, amelyek jól elvannak matematika nélkül. De ugyanígy elvannak a világ többi tudománya nélkül. Akkor azok se a valóságról szólnak?
(De, pl. a biológia és a földrajz a valóságról szól, amennyiben a megfigyelt természetet irja le.
Vannak a természetben objektiv dolgok, állatok, növények, stb, akkor is ha nem tudunk róluk.
A technikához (pl. hajó, ház épités) valóban szükséges alap szintű matematika, de itt is csak az arányok miatt - nem véletlen, hogy régen úgy számoltak, hogy láb, könyök, stb. )
Szerintem is hagyjuk, vissza a témához: milyen az a geometria, ahol a kör kerülete 3-szorosa az átmérőnek?
A görbületet a geometrián belüli mennyiségekkel (szögek és területek segítségével) definiáljuk
És hol definiáltuk a szöget és területet? Az euklideszi geometriában, nem? Görbült geometria nem létezne euklideszi geometria nélkül.
A görbület a kétdimenziós esetben egy szám, sokdimenziós esetben pedig egy tenzor. Persze úgy van kitalálva a fogalom, hogy a nulla görbület éppen az euklideszi eset legyen.
Egy számnak önmagában semmi értéke nincs, csak máshoz viszonyitva. (kivéve a diszkrét dolgok megszámolását). Le is irod, hogy az euklideszi esetet 0-nak definiáljuk, és ehhez a 0-hoz viszonyitjuk a görbült geometriát.
Ha érdekel a matematika (mi hogyan van definiálva, mi miért igaz), akkor tanulnod kell.
Milyen kör az, ahol a kerület nem az átmérő 3.14-szerese, hanem 3-szorosa? (irtad, hogy van ilyen geometria, de az nem Riemann geometria) Minden kör köré tudunk egy négyzetet rajzolni. És minden négyzetnek a kerülete definició szerint az oldalnak (átmérőnek) 4-szerese. Van olyan geometria, ahol a kör köré nem rajzolható négyzet?
Abban igazad van, hogy lehet matematika nélkül élni. Az állatvilág jól elvan matematika nélkül. Vannak primitív törzsek az őserdő mélyén, amelyek jól elvannak matematika nélkül. De ugyanígy elvannak a világ többi tudománya nélkül. Akkor azok se a valóságról szólnak? Gyenge lábakon áll ez az érvelés.
Filozófiai kérdés, hogy a matematika (vagy bármelyik más tudomány) mennyire szól a valóságról és mennyire rólunk. Ez itt off-topik, ezért ezt a témát részemről lezártam.
Irtam, hogy emberi életünkben vannak a matematikának fontos részei. Pl. pénzügyben. De ennek nem lenne jelentősége, ha mondjuk csak 100 ember élne a világon. Bármennyi trillió forinttal semmit sem érnének. Vagy akkor sem lenne jelentősége, ha mindig, mindenkinek ugyanannyi pénze lenne.
A mérnökök is az emberek számára készitenek dolgokat - de itt is relativ számokról van szó. Legyen egy 100 négyzetméteres ház. Az, hogy mi a méter, négyzetméter is egy relativ dolog.
A mérnököknek ezért kell matekot használni, de csak egyszerű matematikét, még alapszintű differenciálszámitást vagy egyéb analizist sem kell alkalmazni.
A statisztika a természettudományokban, pszichológiában, stb. pedig egyenesen félrevezető.
Mihez viszonyitod a görbületet? Az egyenes vonalhoz, a sikhoz, nem?
Nem. A görbületet a geometrián belüli mennyiségekkel (szögek és területek segítségével) definiáljuk. Nem viszonyítjuk semmihez. A görbület a kétdimenziós esetben egy szám, sokdimenziós esetben pedig egy tenzor. Persze úgy van kitalálva a fogalom, hogy a nulla görbület éppen az euklideszi eset legyen.
Ha a sikbeli dolgokat felragasztjuk a gömbre
Nem tudsz síkbeli dolgokat felragasztani a gömbre, pont azért mert a gömbi geometria nem euklideszi. De ezt már mondtam a 323-ban.
Az a lényeg, hogy minden pontosan legyen definiálva.
A matematikában minden pontosan van definiálva. Ha érdekel a matematika (mi hogyan van definiálva, mi miért igaz), akkor tanulnod kell. Az a hozzáállás, hogy "a mateknak semmi köze a valós világhoz" nem célravezető.
Ez nem igaz. A görbület nem az euklideszi geometria fogalma, hanem a nem-euklideszié.
Mihez viszonyitod a görbületet? Az egyenes vonalhoz, a sikhoz, nem? A görbült szó is már egy utalás az euklideszi geometriára - az euklideszi sik geometriához viszonyitva görbült.
Ha a sikbeli dolgokat felragasztjuk a gömbre, akkor láthatjuk, hogy pontosan ugyanazok maradnak az értékek, csak néhány elnevezés lehet más. De az alapfogalmak ugyanazok: kör, négyszög, terület, stb.
Ezért számodra a hiperbolikus geometria nem valóságos.
Valóságos, hogy ha pl. a gömbre helyezett körökről, sokszögekről, stb.-ról van szó. És az is oké számomra, hogy ha az egyenlitőt "egyenes vonalnak" vagy "átmérőnek" nevezzük.
Az a lényeg, hogy minden pontosan legyen definiálva.
De ebben a rendszerben is ugyanaz a kör területe, stb. Csak az a lényeg, hogy tudjuk, hogy mivel kell számolni. Az egyenlitő hosszát a gömb sugarából kell kiszámolni, nem abból, amit itt "átmérőnek" hivunk. Ez igazából a kerület fele.
mert olyan egyenletet akarunk felirni, amiben szerepelnek a primszámok, és a 3.14...
Nem, a dolog nem is így merült fel. Az eredeti probléma az volt, hogy "számítsuk ki" a négyzetszámok reciprokainak összegét (1/1+1/4+1/9+...). Senki se tudta, hogy miféle "eredmény" fog kijönni, miféle számokkal lehet frappánsan kifejezni az összeget. Euler belátta, hogy az összeg pi2/6. Euler azt is tudta, hogy az összeg reciproka a prímek feletti prodp(1-p-2) szorzatnak. Tehát a szorzat 6/pi2. A probléma történetéről itt olvashatsz.
Nem igaz. A valószínűségszámításban a legalapvetőbb eloszlás a normális eloszlás (aminek sűrűségfüggvénye az ismert Gauss-féle haranggörbe). Ennek a definíciójában ott szerepel a pi. Tehát a pi nagyon jelentős a valószínűségszámításban. A számelmélet talán legalapvetőbb függvénye a Riemann-zeta, aminek függvényegyenletében ott szerepel a pi. Tehát a pi nagyon jelentős a számelméletben. És így tovább. Nagyon keveset tudsz matematikából, ezért kérlek, ne tégy summás kijelentéseket róla.
A mateknak semmi köze a valós világhoz.
Aha. Akkor kérd meg a világ összes mérnökét és természettudósát, hogy ne használják a matematikát, mert semmi köze a valós világhoz, ami őket érdekli. Asszem itt be is fejezhetjük.
