Miután a Skalár-e az egydimenziós vektor?-ral már úgyis jól lejárattam magam, így bátorkodom előhozni egy másik gyermekkori nümükémet.
Például itt az a csoda, amit a nemrég fellelt Archimédeszi Palimpszesztben is megtaláltak, miszerint a(z azonos magasságú és átmérőjű) henger=gömb+kúp
Mindigis zavart, hogy milyen szépek lennének a képletek, ha az a fránya Pi pontosan három lenne, és
nem 3,14...
Elhülyéskedtem a kérdéssel, de a legtöbb, amit a fagyos közönyön kívül ki tudtam váltani vele, az a fagyos elutasítás volt.
Talán mert belekevertem a Jóistent is.
Oly módon, hogy a Jóisten nem a térdén hajlította meg a teret (Pi<3 lett volna), nem is az ujjával csettintve (Pi=3 maradt volna) hanem ajkaival pontosan kiszámítva cuppantott (Pi=3,14... lett), mikor teret teremtette.
(Az Élet Értelme: http://zorroaszter.nolblog.hu/archives/2012/06/03/Az_Elet_Ertelme/)
De talán itt az indexen vannak érzőbb szívű olvtársak is.
Tehát a végső kérdés (The Ultimate Question):
Létezhet-e olyan speciálisan horpadt nemeuklideszi tér, ahol a pi pont három?
És ha létezik, ez lenne minden geometria ősanyja?
"A "politikus"-on kívül még mindig nem jutott eszedbe más szitokszó?"
Mit tegyek, ha te vitatechnikádról, a csúsztatásokról, mellébeszélésekről, mások szavainak önkényes átértelmezéséről, stb. a politikusok jutnak eszembe. És például azok a szánalmas kis piszkálódásokról is, ahogy például egy matematikáról szóló vitában előhozod, hogy elgépeltem a palimszeszt szót.
Jó hogy nem sorolod fel az összes elgépelésemet. Bár szerintem ezt is felhasználhatod valamelyik hozzád méltóan tartalmas vitában.
Érdekes?
Nem érdekes, mert csak te és a cimboráid képesek erre, hogy érvek hiányában ilyenekkel próbálkozzanak. Rólatok meg mindenki tudja, aki ezeket olvassa, hogy kifélék vagytok valójában.
Ennek megfelelően az se érdekel, hogy mennyiben állandó zseniális retorikai fordulatod a "duzzogás" emlegetése. Jórégi tapasztalatból tudom, hogy az olyanok mint te a krónikus intelligenciahiány és érvhiány részleges leplezése céljából alkalmaznak ilyen jolly jokereket.
És azt is, hogy az Archimedeszi palimszesztről itt hallottál először életedben. Úgy legyen ötösöd a totón.
Túl messzire ragadtak a szeleburdi feltételezéseid, amelyeket a saját gyakorlatod alapján aggatsz rám,
azon pattogva, hogy én most néztem utána a Wikin az Archimédész palimpszesztnek. Miközben te egy napja még a szót is tévesen írtad: "Palimpszesz"!
Nyugodj meg, a palimpszeszt tartalmát és felfedezésének történetét én már régebb óta ismerem, mint ahogy a Wiki egyáltalán létezik. Nem szoktam olyan dolgokkal villogni, amiket még leírni se vagyok képes, nem hogy érteni.
Ne csak feltételezz, hanem valóságosan nézz utána az index fórumon (vagy akárhol), hányszor mondtam valakinek, hogy "duzzog". Te fogsz meglepődni. Ha két napon belül nem jelentkezel a keresés eredményével, akkor én fogom közzétenni.
A "politikus"-on kívül még mindig nem jutott eszedbe más szitokszó?
Látom, sikerült kiokosodnod a palimpszeszt témába. Nemhiába: sokan mondják, a google a legjobb barátunk.
Azt, hogy úgy viselkedsz, mint egy politikus, nem viccből mondtam. Most is úgy viselkedsz. Csúsztatsz, a saját rosszindulatú hajlamaid szerint fogalmazod át a mások szövegét. És azt is politikusoknál látni leginkább, hogy fingja sincs egy témáról, de miután kiokosodott a wikipédián, fölényeskedve oktat ki másokat. A "duzzogás" és hasonló ezerszer újrahasznosított jolly joker retorika használata szintén tipikus politikusi módszer. Ha visszanéznénk csak itt az index fórumon, hány embernek mondtad már kényszeresen, hogy "duzzog", szerintem mindenki meglepődne?
Szóval menj inkább politikusnak.
És forgasd továbbra is szorgalmasan a wikipédiát és a google-t. :o)
---------------------------------------------
Archimédesz mérlege: a mérleg és sok más a palimpszesztben szereplő dolog a könyv megtalálása előtt is ismert volt. Gondolom ezt nem találtad meg hirtelenjében a googlin.
az ellentmondásos rendszerek sokkal izgalmasabbak. ;)
Mint az út szélén veszteglő lerohadt autó. Az benne az izgalmas, hogy sikerül-e megjavítani, hogy tovább lehessen menni.
Volt ilyen, pl. a differenciálszámítás hőskorában nem voltak tisztázva az alapok, és egyes egyébként bevált módszerek más esetben, látszólag formálisan helyesen alkalmazva, látványos hibákhoz vezettek. Ugyanez a naiv halmazelméletben is előfordult.
Amennyire tudom, arra sincs garancia, hogy a ZFC-ben nincs önellentmondás, de a matematikusok elég biztosnak tűnnek abban, hogy ettől nem kell tartani.
Duzzogásod nem igazán szórakoztató, valami jobb viccre számítottam.
"Kisiskolásoknak szokták is mutogatni."
Te korábban nem erről beszéltél, hanem az Archimédész palimpszesztről. De most már látom, fogalmad sincs mi az. Ez egy középkori teológiai könyv kötéstábláiban fennmaradt Archiédész mű, amiben leírja több tételének titkos bizonyítását. E két évezreden át elveszettnek hitt "Módszer" című gyűjteményben szerepel például az ő "kimerítési" eljárása is, ami tulajdonképpen az integrálszámítás csíráit tartalmazza, közel olyan precíz gondolatmenet szerint, ahogy azt a XIX., század matematikusai kidolgozták. Itt van szó hipotetikus kétkarú mérlegekről is, de ezeket nem a kisiskolásoknak mutogatják.
Jó lenne, ha a "politikus" helyett kieszelnél végre valami újabb szitokszót, mert ez kezd már elkopni.
Azt akartam mondani, hogy a geometria, méghozzá a módosított Euklideszi geometria a matematika olyan ágaiban is benne van láthatatlanul, aminek látszólag az égvilágon semmi köze a geometriához.
A függvénytanban nyilván, de például a számelméletben is.
A lényeg: az absztrakt matematika csak azt jelenti, hogy az axiómáktól nem követeljük meg azt, hogy az igazságuk minden értelmes ember számára nyilvánvaló igazság legyen. Magyarul ebben benne van az is, hogy a valóság legyen.
De az axiómarendszer kiválasztásának a többi szabályát továbbra is betartjuk. (Ha nem, akkor hülyeség jön ki belőle szimplán.)
Az legelő mondat nem jelenti azt, hogy ezek az axiómák a valóságban nem léteznek, hanem csak azt, hogy nem követeljük meg.
Következmény:
- Olyan valóságot ír le a rendszer, amit még nem ismertünk még a legkisebb szinten sem, de valamikor találkozunk vele.
- Leírja a valóságot, de soha nem bukkan rá. Előbb hal ki az emberiség. Vagy legalábbis a fizikusok.
- Olyan világot ír le, ami nem létezik, de közben olyan módszertant, tételeket, stb. kaphatunk, ami felhasználható a valóságos világban.
Elvben léteznek még variációk. Például olyan világ, ami nem létezik és még matematikai absztrakcióként se létezik és még mások is, de ezekkel nem érdemes foglalkozni legfeljebb a filozófusoknak.
Szerintem nem értetted meg, mit írtam, de mindegy.
Például:
"Szerintem pont forditva van: a természettudományos állitásokat próbálják matematikával igazolni."
Ez oda-vissza igaz, nem csak egy irányban. Matematikailag kidolgozott modellt is lehet készíteni és ellenőrizni mondjuk a fizikában hogy például jósol-e eddig nem tapasztaltakat, illetve fizikai mérési sorozatokra, megfigyelésekre is húznak rá utólag matematikát. És általában a folyamat ezután se áll le: megy tovább oda-vissza további kísérletekkel és ellenőrzésekkel.
Neked politikusnak kellene menned. Ott vevők a jó képességű csúsztatókra és hasonszőrüekre mint te.
Akik bíznak benne, hogy a csúsztatásuk legalább többségében cél ér, mert a hallgatóság úgyis lusta visszanézni az eredeti szöveget, vagy hülye hozzá, hogy összevesse az eredeti szavakat a csúsztatással.
Archimedesz mérlege: működik homogén anyagokra fizikailag is. Kisiskolásoknak szokták is mutogatni. De te nyilván nem láttad, mert valamikor négy elemi körül fejezted be a tanulmányaidat. Ugyi? :o)
"legyenek önellentmondás-mentesek, logikus és érdekes rendszert alkossanak"
az ellentmondásos rendszerek sokkal izgalmasabbak. ;)
"Ha viszont olyan matematikai modellel és ennek fizikai megfeleltetésével dolgozunk, mint mondjuk a kvantummechanika, akkor már sokkal feltűnőbb a dolog."
>Physics comes in two parts: the precise mathematical formulation of the laws, and the conceptual interpretation of the mathematics. ... Without adequate verbal support, the formulas and diagrams tend to lose their meaning; without formulas and diagrams, the words and phrases refuse to take on new meanings<
Vedd észre, hogy nem egyenként az axiómák logikusok, józan ésszel beláthatóak. Az axiómáktól együtt, rendszerben várunk el dolgokat, legyenek önellentmondás-mentesek, logikus és érdekes rendszert alkossanak, amivel kedve van más embereknek is dolgozni. Fontos, hogy önmagában egy axióma egyáltalán nem kell hogy magától értetődő, józan ésszel belátható, tapasztalatokra épülő stb. legyen.
Nem tudom, hogy mi a matematikai modell és a valóság kapcsolata.
Ez elég baj, tekintve hogy évekig tanítottak neked matematikát, fizikát...
Megfeleltetésekkel, körülírásokkal, mérési utasításokkal hozzák kapcsolatba a matematikai modellt a valóság egyes elemeivel.
Pl. készítenek egy méterrudat, és azt mondják rá, ez legyen 1 méter. Ezután az euklideszi geometria távolság mérték fogalma alkalmassá válik valódi tárgyak méreteinek jellemzésére, a terület és térfogat fogalom földek méretének, folyadékok mennyiségének jellemzésére. És így tovább. Persze mérési utasítások is társulnak ehhez, csak abben az esetben annyira természetes hogy hogyan kell csinálni, hogy észre se vesszük. Pl. hogy a méterrúddal úgy kell mérni, hogy mellé tesszük párhuzamosan a mérendőnek, hogy a leghosszabb mérete az 1m, ha nem ér át, akkor egyenesen hosszában kell rakosgatni és így tovább.
Az, hogy az euklideszi geometria távolság fogalma egy elméleti konstrukció eleme, az legtöbb emberben nem tudatosul, annyira összekapcsolódik a tudatukban azzal a fizikai megfeleltetéssel, amire tipikusan használjuk.
Ha viszont olyan matematikai modellel és ennek fizikai megfeleltetésével dolgozunk, mint mondjuk a kvantummechanika, akkor már sokkal feltűnőbb a dolog. Éppen ez okoz sokaknak zavart, nem értik miért ilyenek az axiómák, honnét szedték ezeket, miért nem magától értetődőek. És jönnek olyan kérdések, hogy miből van a hullámfüggvény, meg hasonló idétlenségek. És nem értik, hogy egy ilyen kérdésre miért nem mondják meg világosan hogy miből van, miért kezdenek modellről és hasonlókról mellébeszélni... :-)
Pl. sakkban nincs józan ésszel belátható oka annak, hogy hogyan lép a huszár. Valaki kitalálta, és másoknak is tetszett, akartak ezzel játszani.
Ezzel nincs is baj. A szabályok felállitása után mégis csak logikusnak kell lenni. Minden szabálynak világosnak kell lenni, és meg kell mondani, hogy mi a nyerő pozició. Ha ez megvan, akkor ez már logikusnak mondható.
Olyan játék nem létezhet, ami nem logikus.
Matematikában Euklidesz kitalált axiomákat, amikkel a mai napig sokan szívesen dolgoznak. Régen azt hitték, ezek egyben valami alapvető szabályai a való világnak is, ma már nem sokan gondolják ezt egy az egyben.
Ezért irtam, hogy matematikában semmi sem a való világ, kivéve a konkrét számolást: 1, 2,..10 ujj, 1, 2 láb.
Az euklédeszi geometria arra jó, hogy tudjunk hosszakat és területeket számolni. Ez hasznos pl. épitkezésben, vagy ruha varrásban, stb.. De a hossz és terület mindig csak viszonyitás valamihez. 5 méter az viszonyitás ahhoz, amit 1 méternek mondtunk.
Tehát igazából az euklideszi matematika sem a való világ, de ettől függetlenül az ember számára hasznos. A pénz és pénzügy sem a való világ, csupán relativ értéke van, az ember számára (tudom, hogy ez nem geometria, de most csak eszembe jutott).
Bolyai egy axiomát elhagyva a "semmiből egy új világot teremtett". Más axiomákkal pedig egész más konstrukciók alakulnak ki.
Ez is rendben van. De akkor is logikusnak kell lenni (mint pl. a sakknak). És meg kell mondani, hogy mik a szabályok, és mit akarunk számolni.
Fogalmam sincs, hogy bizonyos terekben a kör kerület/átmérő aránya miért 3. Nem kell most elmagyarázni, de ez is valahogy kijön logikusan. Csak tudni kell, hogy itt mi a kör, kerület, átmérő.
, pl. a differenciálszámítást Newton kifejezetten a fizikai modellje kedvéért "találta fel"
Igen, erre nemrég én is rájöttem. :-) Azért nem ártott volna ezt elmondani a differenciálszámitás tanitásának kezdetekor. Csak tanultuk a differenciálszámitást, és senkinek halvány gőze sem volt, hogy miért, és mi is akar az lenni.
az adott axiomákra alapozott matematikai modell bizonyos megfeleltetésekkel jó modellje a valóságnak
Nem tudom, hogy mi a matematikai modell és a valóság kapcsolata.
Szerintem minden állitásnak, minden tudományban (a matematikától kezdve a biológián és pszichológián át, a teológiáig) a józan ésszel beláthatónak (vagyis logikusnak) kell lenni.
A matematikában ez nem így van, és pl. a fizikában sem vonatkozik az axiomákra.
A matematika ilyen szempontból inkább egy társasjátékra (pl. sakk) hasonlít, a szabályokat (axiomák) szabadon lehet megalkotni, és az a fő szempont, hogy érdekes dolog jön-e ki belőle, amit mások is érdekesnek találnak.
Pl. sakkban nincs józan ésszel belátható oka annak, hogy hogyan lép a huszár. Valaki kitalálta, és másoknak is tetszett, akartak ezzel játszani.
Matematikában Euklidesz kitalált axiomákat, amikkel a mai napig sokan szívesen dolgoznak. Régen azt hitték, ezek egyben valami alapvető szabályai a való világnak is, ma már nem sokan gondolják ezt egy az egyben. Bolyai egy axiomát elhagyva a "semmiből egy új világot teremtett". Más axiomákkal pedig egész más konstrukciók alakulnak ki. Ezeknek is van létjogosultságuk, ha a matematikusokat érdeklik, akkor ezekkel is dolgozhatnak.
A matematikusok által létrehozott logikai konstrukciók néha hasznosnak bizonyulnak más tudományágakban, pl. a differenciálszámítást Newton kifejezetten a fizikai modellje kedvéért "találta fel", majd más matematikusok továbbfejlesztették, axiomatizálták, elvarrták a szálakat.
Riemann geometriája hasznosnak bizonyult az Általános Relativitáselméletben.
De nem csak azoknak a matematikai konstrukcióknak van értelme, amiket közvetlenül hasznosítani lehet, sőt azt sem lehet tudni, mi lesz esetleg - akár sokkal később - nagyon is hasznos.
A fizikában sem azért axioma valami, mert közvetlenül belátható mint alapigazság. Nagyon nem, kicsit sem. Hanem azért, mert az adott axiomákra alapozott matematikai modell bizonyos megfeleltetésekkel jó modellje a valóságnak. Működik. És ez az egyetlen szempont.
A matematika nagy része természettudomány. Annyiban, amennyiben a természettudományok, amikben felhasználják, folytonosan kísérletileg is tesztelik, hogy igaz-e.
Szerintem pont forditva van: a természettudományos állitásokat próbálják matematikával igazolni.
Csak a legutóbbi időkben (100-150 éve) jelent meg az absztrakt matematika, amikor az axiómáktól már nem követeljük meg mindig, hogy józan ésszel beláthatók legyenek
Szerintem minden állitásnak, minden tudományban (a matematikától kezdve a biológián és pszichológián át, a teológiáig) a józan ésszel beláthatónak (vagyis logikusnak) kell lenni.
Akkor is, ha valami nagyon bonyolult, nehéz, és absztrakt.
2-féle bizonyitás van: az, amit fizikailag megtapasztalunk, és az, amit logikailag (szavakkal vagy matematikával) értelmesen le tudunk vezetni.
Nem tudod gyűrődés nélkül ráragasztani, pont azért, mert a gömbi körök kerületére nem igaz a 2pi*r képlet.
Ezt tényleg beláttam, hogy sik kört nem tudsz gömbre felragasztani, gyűrődés nélkül.
De mondjuk induljunk ki egy gömbön levő körből. Úgy, hogy a gömbre felrajzolunk egy kört. Szerintem a kör kerületét úgy kell kiszámitani, hogy a kerületre egy sikot rakunk, és a sikon kiszámoljuk a kör kerületét.
Ezt tesszük akkor is, amikor az egyenlitőre rakunk egy sikot. Itt is érvényes a kör kerületének a képlete, csak a sik kör átmérőjével, és nem a gömb átmérőjével kell számolni.
Tehát a sikbeli és gömbön levő kör kerülete egyenlő.
Viszont a területük különböző.
Azért irtam ebbe a topikba, mert éppen nemrég kérdezte tőlem egy gimnazista, hogy honnan jön a pi.
Igazán szórakoztató, amikor egy tökéletesen képzetlen figura a tudomásunkra hozza, hogy a matematikának voltaképpen kísérleti tudománynak kellene lennie. Úgy gondolván, hogy a végtelen sorok konvergenciáját tagonként kellene ellenőriznünk, az integrálokat meg műanyagból kiöntött mintákkal. Arkhimédész kimerítési eljárásáról pedig azt hiszi, hogy abban fizikai mérlegek alkalmazásáról van szó.
De nagy kegyesen azért megsimogatja az absztrakt ködbe tévedt matematikusok buksiját is: "könnyen előfordulhat, hogy a legvadabb absztrakt agyszülemény pont leírja mondjuk a kvarkok viselkedését vagy a káoszt vagy a gyorsulva táguló világ valódi okát."
Ha tudsz még ilyen jó vicceket, ne fogd vissza magad!
Mint említettem, a matematikában láthatatlanul benne van az euklideszi geometria. A számegyenes szerkezete is láthatatlan euklideszi geometria.
Azon kívül a mint említettem, ezek a sorösszegek és egyéb matematikai eloszlásoknak csak az euklideszi világban van ilyen kitüntetett szerepe. Egy pi=3.0 világban ott ezek csak egy teljesen érdektelen irracionális számot, a 3.14... -et adják ki.
Végül problémás még, hogy mi bizonyítja szerinted, hogy mondjuk valamelyik sorod vagy ez a prímes eloszlás, vagy a Gaussosból jövő mondjuk a 10^125-enedik jegytől nem kezd el eltérni a pi=3.14... számjegyeitől?
Hisz azokat a jegyeket még nem is ismerjük.
Általad linkelt irodalom:
Köszi. A hétvégén megpróbálom átnézni, de ha sikerül, szerintem akkor sem végzek vele.
A matematika nagy része természettudomány. Annyiban, amennyiben a természettudományok, amikben felhasználják, folytonosan kísérletileg is tesztelik, hogy igaz-e.
Aztán bizonyos értelemben önállóan is kísérleti tudomány is. Az ókorban egyes ágaival szabályosan kísérleteztek. Példa erre épp az említett Archimédeszi Palimpszesz leírása a mérlegről, aminek egyik ágáról henger lóg, másikról gömb és kúp, és egyensúlyban van. De akár egy négydimenziós függvényről is kitalálható eljárás, amivel műanyagból kiöntött mintákon ellenőrizhető, jó-e az integrálja. És szinte minden matematikai állításra kitalálható ilyen kísérleti igazolás, persze nem mindig érdemes vesződni ilyenekkel, mert sokszor ez több fáradsággal jár mint maga a tétel kiötlése.
Csak a legutóbbi időkben (100-150 éve) jelent meg az absztrakt matematika, amikor az axiómáktól már nem követeljük meg mindig, hogy józan ésszel beláthatók legyenek, csak az ellentmondásmentességet és a többit.
Viszont láthatatlan a határvonal az absztrakt matematika körül: könnyen előfordulhat, hogy a legvadabb absztrakt agyszülemény pont leírja mondjuk a kvarkok viselkedését vagy a káoszt vagy a gyorsulva táguló világ valódi okát.
Köszönöm a válaszaidat. Bocs, hogy ilyen problémás voltam. De azért sok új dolgot tudtam meg, és szerintem az eredeti kérdés is tisztázva lett.
A Pi szám nem lehet 3, csak 3.14... mert algebrai definiciója van. Az euklideszi geometriába a k/d mindig Pi, a gömbi geometriában LEHET 3, a 2-dimenziós Banach térben pedig mindig 3 (vagy van olyan 2-dimenziós Banach tér, ahol mindig 3?)
egy vektortérben az összes vektor létezik? vagy csak az általunk éppen vizsgált (berajzolt) vektorok manifesztálódnak?
vegyünk például egy forgásparaboloid sokaságot, ahol a sokaság minden elemének más a négyzetes tag együtthatója. induljunk ki az origóból, tegyünk meg r távolságot. és a 'párhuzamos' világok sokasága közül jelöljük ki azt, amelyikben a kör kerülete éppen az átmérő háromszorosa. az más kérdés, hogy az átmérő csak virtuálisan létezik, mert annak minden pontja a sokaság egy másik eleméhez tartozik.
