vagy másképpen:
Dolgok, amik egy harmadikkal egyenlõk, egymással is egyenlõk (http://orange.ngkszki.hu/~trembe/noneuclid/hungarian/proof.html)
Gondolom arra utaltál, hogy két létező tárgy között tökéletes azonosság nem valősulhat meg. Az absztrakció ott jelentkezik, amikor az egyező tulajdonságokat kiemelve (egy adott vizsgálat szempontjából) alkotjuk meg az egyenlőség fogalmát.
Példa: a futószalagról lekerült azonos tipusú 40 W-os villanykörték egymással csereszabatosak, a felhasználót a különbözőségek nem érdeklik.
Ha nem csak kérdéseket akarunk feltenni, hanem válaszolni is próbálunk, akkor valami olyasmit mondhatunk szerintem, hogy a szokásos matematika (én közben továbbra is az euklkideszi geometriára gondolok) "közepes" méretekben "jó" egyezést mutat a valósággal (a "közepes méret" fogalmába az is beletartozik, hogy egy mérési eredményt ne egyetlen mért értékel, hanem többszöri mérések eloszlásával írjunk le. Ekkor az a kínzó probléma is eltűnik, hogy az eredményünk racionális, vagy irracionális szám-e.) Az euklideszi modellünk viszont olyan, hogy nagyon kicsi és nagyon nagy méretek esetén már nem írja le a valóságot. Azt hiszem, ezt szokták úgy fogalmazni, hogy a természeti törvények skálafüggők. A nagyméretű tartomány leírására az ált. rel. alkalmas, viszont a kisméretű tartomány geometriai modelljéről nem tudok. A kvantummechanika nem geometriai elmélet.
Természetesen azért használjuk, mert beváltak, hasznosak. Mint az összes többi tudományos fogalmat (eltekintek egy hosszú felsorolás elkezdésétől). Csak a matematikában kritérium a bizonyíthatóság. A Popperi felfogás szerint a tudományosság kritériuma a cáfolhatóság - azaz amíg nem cáfolnak meg egy (tudományos) állítást, addíg az igaz.
Esetünkben mi lenne az állítás? Hogy a matematika minden körülmények között használható?
OFF
Ezt miért nem úgy kell írni, hogy "minden körülmény között"?
ON
Úgy látom, hogy esetünkben inkább egy tudatalatti közmegegyezés létezik, mint kiforrott elmélet. Ennek feszegetése az alapok mélyítését jelenti, ezért nehéz és kellemetlen.
Természetesen azért használjuk, mert beváltak, hasznosak. Mint az összes többi tudományos fogalmat (eltekintek egy hosszú felsorolás elkezdésétől). Csak a matematikában kritérium a bizonyíthatóság. A Popperi felfogás szerint a tudományosság kritériuma a cáfolhatóság - azaz amíg nem cáfolnak meg egy (tudományos) állítást, addíg az igaz.
Persze hogy használjuk, de tényleg nem zavaró, hogy nem tudjuk MIÉRT használhatjuk? Lehet, hogy bizonyos körülmények között nem működik a dolog, aztán majd csak nézünk, mint a moziban.
Nekem az a gyanúm, hogy pont ez történt a kvantummechanika megszületésekor.
Ha az irracionális számok hasznosak bizonyos jelenségek leírásához miért ne használnánk őket (mint az esőt a végső összecsapás drámaiságának érzékeltetéséhez)? Persze hogy használjuk, de tényleg nem zavaró, hogy nem tudjuk MIÉRT használhatjuk? Lehet, hogy bizonyos körülmények között nem működik a dolog, aztán majd csak nézünk, mint a moziban.
Bizonyos fizikai fogalmakat (sebesség, gyorsulás, tömeg, energia) lehet jellemezni matematikai fogalmakkal (számokkal, függvényekkel).
Ha az irracionális számok hasznosak bizonyos jelenségek leírásához miért ne használnánk őket (mint az esőt a végső összecsapás drámaiságának érzékeltetéséhez)?
Már megint ez a megfoghatatlan valóság. A valóság az, amit mi annak tartunk (tehát szubjektív). Ha valószerűbbnek tartjuk a küzdelmet esőben, mint száraz körülmények között, akkor a filmesek esős jeleneteket adnak el nekünk.
Eszembe nem jutna esőben kardozni. De ez tényleg szubjektív.
Más.
:)
Tud valaki olyan fizikai objektumot, ami annyira közel van valamilyen matematikai objektumhoz, amennyire csak lehet?
Már megint ez a megfoghatatlan valóság. A valóság az, amit mi annak tartunk (tehát szubjektív). Ha valószerűbbnek tartjuk a küzdelmet esőben, mint száraz körülmények között, akkor a filmesek esős jeleneteket adnak el nekünk.
Akkor talán azt kéne megvizsgálni, milyen is ez az absztrakció. Ne bonyolult dolgokkal foglalkozzunk, maradjunk Euklidész axiómáinál. Vegyük például az 1. axiómát: Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők Nos, ilyen a valóságban egyáltalán nincs. Akkor mit absztraháltunk, honnan?
Nem zárható ki az a lehetőség, hogy a képességeid összemérhetőek azzal a tudóséval, aki az ókorban az irracionalitást felfedezte. Ebben az esetben természetesen ne nyugodjál meg, de azért tartsd szem előtt, hogy ez a XXI. század, amikor a matematikai irracionalitás középiskolai tananyag. Köszönöm az árnyalt fogalmazást. Tisztában vagyok az esélyeimmel.
Egyébként jelezném, többen félreértik az irracionlis számokkal kapcsolatos problémá(m|nk)at. Nem a számok a probléma, hanem a fizikai valósággal való kapcsolatuk.
Egyébként bármilyen rendszert választanánk, ugyanúgy lennének olyan számok, amik csak végtelen sorozattal írhatók fel.
Sőt, bármely számhoz található olyan rendszer, amiben az csak végtelen sorként írható fel. Akkor semmilyen szám sem létezik?
Minden rendszer önkényes, a tizedestört formát nem én erőltetem, nyilván azért ez merült fel, mert a racionális számoknál megszokott módon szeretnénk felírni őket.
A vágyak hogyan befolyásolják számok objektív létezését?
Nem zárható ki az a lehetőség, hogy a képességeid összemérhetőek azzal a tudóséval, aki az ókorban az irracionalitást felfedezte. Ebben az esetben természetesen ne nyugodjál meg, de azért tartsd szem előtt, hogy ez a XXI. század, amikor a matematikai irracionalitás középiskolai tananyag.
Közben kialakult a modern matematika....
Meg a modern természettudomány. Őszinte leszek. Nem vonom kétségbe a fejlődést, de a többiek biztonságérzete engem nem nyugtat meg.
Mégegyszer leírnám ezt a szót, hogy absztrakció. A matematika fejlődése során nyilván az első fogalmak a valóságban tapasztaltak alapján jöttek létre, mint pl. a már említett térelemek. A számolás tudományát is a hétköznapi élet követelte meg. Azután a matematika önállósult, megindult a különböző összefüggések feltárása egy olyan gondolati struktúrában ahol egyre nehezebb lett rámutatni az illető matematikai fogalom tárgyi megfelelőjére. Illusztrálni tudom hétköznapi tárgyak segítségével a logaritmust? Kezembe vehetem egy függvény primitív függvényét?
Ez az elvont tudomány viszont segítségére van más tudományok művelőinek, akik a valóság titkait fürkészik.
Az absztrakció egyébként nem csak a matematika privilégiuma.
Az irracionalitás fölfedezése magát a fölfedezőt az őrületbe kergette, de ez több mint 2000 évvel ezelőtt volt. Mostmár nincs okunk tartani az irracionális számoktól. Miért, mi történt közben?
Nyugodj meg! Akkor ne mondd, hogy nyugodjak meg. :)
Kronecker (matematikus, XIX. század), szerint a természetes számokat Isten teremtette, az összes többi az ember alkotása (szerintem ez ez csak jól hangzik: a természetes számok is emberi 'teremtmények'). Azért, mert olyan 'kézenfekvő' a természetes számok (emberek által alkototott fogalom!), vagy bizonyos geometriai fogalmak használata a hétköznapokban, attól azok még nem (biztos) hogy léteznek (a természetben). Olyan fogalmakat használunk, amelyek a hasznunkra válnak. Ilyen az irracionális szám, a főnév, vagy vagy a kvark fogalma.
Akkor mégegyszer: a problémánk nem az, hogy nem értjük a gyökkettő definícióját. Hanem inkább annak a bizonyos materializálható megflelője. A természetes számok esetén ugyanis van ilyen. Ha ellenben a gyökkettőt például az euklidészi axiómákból vezetjük le, akkor az a helyzet, hogy olyan tulajdonságú dolgokból indulunk ki (pont, egyenes, sík), amik a valóságban nincsenek. Oké, ne keressük tehát az irracionalitás megjelenését a valóságban. De akkor miért van mégis szükség rá (illetve: valóban szükség van-e rá) ahhoz, hogy a valóságot üygesen le tudjuk írni? Valami köze mégiscsak van a valósághoz? De mi?
A gyökkettő az a nem negatív valós szám, melynek négyzete a kettő. Ezt a számot így lehet definiálni, a definícióhoz elég volt véges sok szó, vagy írásjel. Egy átlagos tudású érettségiző percek alatt be tudja bizonyítani, hogy ez a szám nem racionális. Részben érinti a témát, hogy a matematikusok egy része, az ún. konstruktivisták elvetik azt a bizonyítási módszert, amin a gyökkettő irracionalitása alapszik.
Aki szeretné a gyökkettőt tizedestört alakban meghatározni, közelítést végez mindaddig, míg a tizedesvessző utáni jegyek száma véges. Ezt nem értem.
A matematikai fogalmak absztrakció útján jönnek létre. Ha valaki konstruál egy definíciót, azzal a fogalom létrejött, felesleges erőlködés annak materializálható megfelelőjét felkutatni.
A fogalom létezését nem is vonta kétségbe senki.
A kérdés, ami úgy tűnik néhányunkat foglalkoztat, a #320-ban hangzott el pl.
Az irracionalitás fölfedezése magát a fölfedezőt az őrületbe kergette, de ez több mint 2000 évvel ezelőtt volt. Mostmár nincs okunk tartani az irracionális számoktól.
Nyugodj meg!
"A gyökkettő létezik (legalábbis mint koncepció), de végtelen hosszú ideig tart felsorolni a számjegyeit. Megegyezhetünk ebben?"
A gyökkettő az a nem negatív valós szám, melynek négyzete a kettő. Ezt a számot így lehet definiálni, a definícióhoz elég volt véges sok szó, vagy írásjel. Egy átlagos tudású érettségiző percek alatt be tudja bizonyítani, hogy ez a szám nem racionális. Aki szeretné a gyökkettőt tizedestört alakban meghatározni, közelítést végez mindaddig, míg a tizedesvessző utáni jegyek száma véges.
A matematikai fogalmak absztrakció útján jönnek létre. Ha valaki konstruál egy definíciót, azzal a fogalom létrejött, felesleges erőlködés annak materializálható megfelelőjét felkutatni.
Én már azon is kiakadtam, amikor a huszadik század végén nem tudtuk eldönteni, mikor is kezdödik a huszonegyedik század? Az emberek egy része 2000 jan. 1-el, másik része 2001 jan. 1-el ünnepelte.
Meg van, aki kétszer :)
Az irracionális számokkal szerintem is igazad van, hogy az nem is létezhet a valóságban
De jó ezt olvasni...
Mondjuk atomi méretekben a távolságmérés egyszer csak muris kezd lenni, mintha zselégombócokból akarnánk kirakni az átlót. Bárcsak tudnám, mi az a "távolság".
...hogy lehet az, hogy valóságban nem létező dolgok a valóságot olyan jól leírják
Remek, koncentráljunk ide.
Szerintem valami olyasmi lehet, hogy a tervezési problémákat meg lehetne oldani szigorúan racionális (valóságban létező) elemek felhasználásával, csak gyorsabb, kényelmesebb ha előbb bevezetünk egyéb fogalmakat.
Kellene találni egy állatorvosi lovat, amin be lehetne mutatni, hogy gyökkettő nélkül is működik.
Vagy esetleg azt, hogy nem.
"Nem az irracionális számokkal van a gond, hanem azzal, hogy nem lehet átszámolni tört formába! Amit nem tudunk egyszerűen kifejezni egy önkényes rendszerben, az nem is létezik?"
Minden létezik koncepció szinten, amit definiálni tudunk, habár ez is ingoványos terep.
Minden rendszer önkényes, a tizedestört formát nem én erőltetem, nyilván azért ez merült fel, mert a racionális számoknál megszokott módon szeretnénk felírni őket. Egyébként bármilyen rendszert választanánk, ugyanúgy lennének olyan számok, amik csak végtelen sorozattal írhatók fel.
