Kedves z307,
:D ezt a káoszos dolgot ugyancsak jól kitaláltad, de hadd ne érintsem.
Inkább azt mondanám Neked, hogy egyrészt a természeti állandók irracionalitása lehetséges. Nem ismerjük azt az algoritmust, ahogyan kialakultak, ha egyáltalán algoritmussal alakultak ki, a mérések pedig mindig közelítőek.
Másrészt az emberi agy csak végesen megkonstruált valós számokat képes befogadni, ezért, ha a világ pl végtelen eljárásokkal is működik, azt nem tudjuk átlátni, végessel közelítjük, amíg lehet.
A világ végső szerkezete, ha van ilyen, nyugodtan lehet pl. R^n tér - mondjuk -, még pl. a kvantumos szerkezet alatt is; általánosabban, minden további nélkül állhat végtelen objektumból a világ.
Ha tehát végső választ keresel, az szerintem elég reménytelen.
Na és a lényeg, hogy ezekszerint ha pl a házépítés kaotikus folyamat lenne (aki épített már házat, mind ezt mondja), akkor hiába tervezed meg euklideszi vonalakkal és síkokkal ésatöbbi, ha 1 mm-t tévedsz az első kapavágásnál, akkor nem ház lesz, hanem romhalmaz.
folyt.:
Példa kaotikus viselkedésre a virtuális tésztagyúrás. Veszel egy a4-es tésztadarabot és a közepébe teszel egy pontot. ezután összehajtod négyrét, majd kinyújtod megint a4 méretűre (nem biztos, hogy pont így kell csinálni, nememlékszem), mindezt 1000x. A közepéről a pont elvándorol valahova, ugyanabból a kiindulópontból mindig ugyanoda, vagyis az egész determinisztikus (matematikai műveletekről van szó). A trükk az, hogy ha az elején egy kicsit odébb teszed a pontot, akkor az előző gyúrás eredménye alapján nem (sem) tudod megmondani, hogy 1000 ismétlés után hova kerül.
Arról van szó, hogy ha adva van egy folyamat, ami valami bemenetet kimenetté alakít, akkor a józan paraszti ész szerint ha a bemenetet egy kicsit megváltoztatom, akkor a kimenet is csak egy kicsit változik meg.
Például a léces barkácsolás kitűnő példa, már csak azért is,
mert az érdekes dolgok akkor jönnek elő, ha a folyamat valamilyen művelet ismételt elvégzéséből áll. Szóval vágod a léceket, mindegyiknél tévedsz egy kicsit, modjuk max 1mm-t, akkor 10 léc után lehet hogy ronda lesz a kerítés, de legalább be tudod határolni, hogy mennyire, mert szerencsétlen esetben is a hibák legfeljebb egyirányba hatnak.
A káosz elmélet mutatott rá, hogy szép számmal vannak olyan folyamatok, amikor a bemenet kis megváltoztatása megjósolhatatlan mértékben megváltoztatja a kimenetet.
Mondjuk ha kerítés helyett tésztát lenne kedved gyúrni, akkor be tudnám mutatni, de most elküldöm, mert a guta megüt ha ennyi karakter odalesz esetleg.
Azért mégiscsak érdekes ez. A villanykörte túl bonyolult példa, mondok mást. Le kell vágnom 10 egyforma hosszú lécet. Ha úgy csinálom, hogy mindig a legutóbb elkészülthöz mérem a következőt, akkor garantáltan jól érzékelhető különbség lesz az első és a tizedik között. Ilyen tapasztalatok alapján inkább azt lehetne axiómaként kimondani, hogy bármely dolog csak önmagával egyenlő. De nem tudom, ha ezt mondta volni ki Euklidész, létezne-e ma egyáltalán tudomány. És ez nem egyedi eset. Mármint az, hogy nemlétező dolgot kell kitalálni ahhoz, hogy létezőket egyszerűen leírhassunk. Gondoljunk csak Newton tehetetlenségi törvényére. Ez a törvény olyannyira ellentmond a mindennapi tapasztalatnak, hogy szerintem nincs is olyan gyerek, aki ne berzenkedne ellene, amikor először hall róla. És mégis, vajon hol lennénk nélküle?
Egy szomszéd topikban pedig mezőktől mentes tér került szóba. Valaki világosan kifejtette, hogy ilyen nincs. Én viszont a fenti példák alapján nem vagyok meggyőződve róla, hogy pusztán ezért száműznünk kéne a gondolatainkból.
vagy másképpen:
Dolgok, amik egy harmadikkal egyenlõk, egymással is egyenlõk (http://orange.ngkszki.hu/~trembe/noneuclid/hungarian/proof.html)
Gondolom arra utaltál, hogy két létező tárgy között tökéletes azonosság nem valősulhat meg. Az absztrakció ott jelentkezik, amikor az egyező tulajdonságokat kiemelve (egy adott vizsgálat szempontjából) alkotjuk meg az egyenlőség fogalmát.
Példa: a futószalagról lekerült azonos tipusú 40 W-os villanykörték egymással csereszabatosak, a felhasználót a különbözőségek nem érdeklik.
Ha nem csak kérdéseket akarunk feltenni, hanem válaszolni is próbálunk, akkor valami olyasmit mondhatunk szerintem, hogy a szokásos matematika (én közben továbbra is az euklkideszi geometriára gondolok) "közepes" méretekben "jó" egyezést mutat a valósággal (a "közepes méret" fogalmába az is beletartozik, hogy egy mérési eredményt ne egyetlen mért értékel, hanem többszöri mérések eloszlásával írjunk le. Ekkor az a kínzó probléma is eltűnik, hogy az eredményünk racionális, vagy irracionális szám-e.) Az euklideszi modellünk viszont olyan, hogy nagyon kicsi és nagyon nagy méretek esetén már nem írja le a valóságot. Azt hiszem, ezt szokták úgy fogalmazni, hogy a természeti törvények skálafüggők. A nagyméretű tartomány leírására az ált. rel. alkalmas, viszont a kisméretű tartomány geometriai modelljéről nem tudok. A kvantummechanika nem geometriai elmélet.
Természetesen azért használjuk, mert beváltak, hasznosak. Mint az összes többi tudományos fogalmat (eltekintek egy hosszú felsorolás elkezdésétől). Csak a matematikában kritérium a bizonyíthatóság. A Popperi felfogás szerint a tudományosság kritériuma a cáfolhatóság - azaz amíg nem cáfolnak meg egy (tudományos) állítást, addíg az igaz.
Esetünkben mi lenne az állítás? Hogy a matematika minden körülmények között használható?
OFF
Ezt miért nem úgy kell írni, hogy "minden körülmény között"?
ON
Úgy látom, hogy esetünkben inkább egy tudatalatti közmegegyezés létezik, mint kiforrott elmélet. Ennek feszegetése az alapok mélyítését jelenti, ezért nehéz és kellemetlen.
Természetesen azért használjuk, mert beváltak, hasznosak. Mint az összes többi tudományos fogalmat (eltekintek egy hosszú felsorolás elkezdésétől). Csak a matematikában kritérium a bizonyíthatóság. A Popperi felfogás szerint a tudományosság kritériuma a cáfolhatóság - azaz amíg nem cáfolnak meg egy (tudományos) állítást, addíg az igaz.
Persze hogy használjuk, de tényleg nem zavaró, hogy nem tudjuk MIÉRT használhatjuk? Lehet, hogy bizonyos körülmények között nem működik a dolog, aztán majd csak nézünk, mint a moziban.
Nekem az a gyanúm, hogy pont ez történt a kvantummechanika megszületésekor.
Ha az irracionális számok hasznosak bizonyos jelenségek leírásához miért ne használnánk őket (mint az esőt a végső összecsapás drámaiságának érzékeltetéséhez)? Persze hogy használjuk, de tényleg nem zavaró, hogy nem tudjuk MIÉRT használhatjuk? Lehet, hogy bizonyos körülmények között nem működik a dolog, aztán majd csak nézünk, mint a moziban.
Bizonyos fizikai fogalmakat (sebesség, gyorsulás, tömeg, energia) lehet jellemezni matematikai fogalmakkal (számokkal, függvényekkel).
Ha az irracionális számok hasznosak bizonyos jelenségek leírásához miért ne használnánk őket (mint az esőt a végső összecsapás drámaiságának érzékeltetéséhez)?
Már megint ez a megfoghatatlan valóság. A valóság az, amit mi annak tartunk (tehát szubjektív). Ha valószerűbbnek tartjuk a küzdelmet esőben, mint száraz körülmények között, akkor a filmesek esős jeleneteket adnak el nekünk.
Eszembe nem jutna esőben kardozni. De ez tényleg szubjektív.
Más.
:)
Tud valaki olyan fizikai objektumot, ami annyira közel van valamilyen matematikai objektumhoz, amennyire csak lehet?
Már megint ez a megfoghatatlan valóság. A valóság az, amit mi annak tartunk (tehát szubjektív). Ha valószerűbbnek tartjuk a küzdelmet esőben, mint száraz körülmények között, akkor a filmesek esős jeleneteket adnak el nekünk.
Akkor talán azt kéne megvizsgálni, milyen is ez az absztrakció. Ne bonyolult dolgokkal foglalkozzunk, maradjunk Euklidész axiómáinál. Vegyük például az 1. axiómát: Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők Nos, ilyen a valóságban egyáltalán nincs. Akkor mit absztraháltunk, honnan?
Nem zárható ki az a lehetőség, hogy a képességeid összemérhetőek azzal a tudóséval, aki az ókorban az irracionalitást felfedezte. Ebben az esetben természetesen ne nyugodjál meg, de azért tartsd szem előtt, hogy ez a XXI. század, amikor a matematikai irracionalitás középiskolai tananyag. Köszönöm az árnyalt fogalmazást. Tisztában vagyok az esélyeimmel.
Egyébként jelezném, többen félreértik az irracionlis számokkal kapcsolatos problémá(m|nk)at. Nem a számok a probléma, hanem a fizikai valósággal való kapcsolatuk.
Egyébként bármilyen rendszert választanánk, ugyanúgy lennének olyan számok, amik csak végtelen sorozattal írhatók fel.
Sőt, bármely számhoz található olyan rendszer, amiben az csak végtelen sorként írható fel. Akkor semmilyen szám sem létezik?
Minden rendszer önkényes, a tizedestört formát nem én erőltetem, nyilván azért ez merült fel, mert a racionális számoknál megszokott módon szeretnénk felírni őket.
A vágyak hogyan befolyásolják számok objektív létezését?
Nem zárható ki az a lehetőség, hogy a képességeid összemérhetőek azzal a tudóséval, aki az ókorban az irracionalitást felfedezte. Ebben az esetben természetesen ne nyugodjál meg, de azért tartsd szem előtt, hogy ez a XXI. század, amikor a matematikai irracionalitás középiskolai tananyag.
Közben kialakult a modern matematika....
Meg a modern természettudomány. Őszinte leszek. Nem vonom kétségbe a fejlődést, de a többiek biztonságérzete engem nem nyugtat meg.
Mégegyszer leírnám ezt a szót, hogy absztrakció. A matematika fejlődése során nyilván az első fogalmak a valóságban tapasztaltak alapján jöttek létre, mint pl. a már említett térelemek. A számolás tudományát is a hétköznapi élet követelte meg. Azután a matematika önállósult, megindult a különböző összefüggések feltárása egy olyan gondolati struktúrában ahol egyre nehezebb lett rámutatni az illető matematikai fogalom tárgyi megfelelőjére. Illusztrálni tudom hétköznapi tárgyak segítségével a logaritmust? Kezembe vehetem egy függvény primitív függvényét?
Ez az elvont tudomány viszont segítségére van más tudományok művelőinek, akik a valóság titkait fürkészik.
Az absztrakció egyébként nem csak a matematika privilégiuma.
Az irracionalitás fölfedezése magát a fölfedezőt az őrületbe kergette, de ez több mint 2000 évvel ezelőtt volt. Mostmár nincs okunk tartani az irracionális számoktól. Miért, mi történt közben?
Nyugodj meg! Akkor ne mondd, hogy nyugodjak meg. :)
