Derék dolog. Vagy azt is lehetne, hogy se nem deriválsz, se nem integrálsz, csak simán a végre írod az integrációs konstanst (+K), és máris megvan a "hamis gyök", amit kerestél.
Bevallom, jobb szeretem az olyan hozzászólásokat, ahol van bevezetés, tárgyalás, befejezés, és az egésznek van valami hagyományos észjárással megragadható értelme.
A hamis gyökök olyan megoldások, amelyek valójában nem megoldásai az eredeti egyenletnek.
Elsőfajú hamis megoldásoknak nevezném a behelyettesítéssel ellenőrizhető megoldásokat.
Másodfajú hamis megoldásoknak nevezném egy differenciálegyxenlet olyan megoldásait, amelyek a behelyettesítésnél megfelelőek, azonban például a lehetetlen/ellentmondó határfeltételek miatt mégsem lehetségesek.
(A tigris akkor is ott van, amikor a majom nem néz oda.)
Első közelítésben legyen egy periodikusan ismétlődő lejtő.
Például: y = sin x
(Nyilván lehet(ne) skálázni, most azzal nem bonyolítom.)
Felejtsük el az erőt és a tömeget!
Írjunk fel tisztán kinematikai egyenleteket.
Valami olyasmire gondolok, hogy a fenti periodikus lejtőn mozgó pontszerű súrlódásmentes golyóra fel lehetne írni olyan differenciálegyenletet, amelynek a megoldása 2PI szerint tetszőleges helyen kezdődik. Tehát a megoldása lehet sin(x-K).
Nem hiszem, hogy emiatt a golyó teleportálódni fog.
A '90-es évek óta számos fizikus és tucatnyi filozófus rágódott azon a problémán, hogy a Newton-i mechanika esetleg talán akauzális és indeterminisztikus is lehet. Ezért jutott eszembe, hogy esetleg az indulási idő bizonytalansága helyett a kezdő pozíció határozatlanságát kellene megmutatni.
Következő közelítésben a periodikusságot is elvethetnénk, például egy exponenciálisan lecsengő függvénnyel.
Az Euler—Lagrange-egyenlet alapján ez, vagyis Fált. = 0, ha nincs külső potenciáltér. Az e-ados tényezővel egyszerűsíthetünk, és a szokásos F=ma dinamikai erőre:
F = Fált. e-tβ/m = ma = -βv ahogy akartuk. (áttértem most a β jelölésre, értéke pozitív)
Szépen csillapodik a mozgás, disszipálódik a T kinetikai energia, nem marad meg, hiszen L expliciten függ t-től (ott van az exponensben).
És most jön az érdekes!
Legyen U külső potenciáltér!
Ekkor kell az E—L-egyenlet másik fele is. Viszont ahhoz, hogy azt kapjuk, amit valóvan kell:
F = ma = -βv - grad U
a Lagrange-függvényben a potenciáltagot is ugyanazzal az etβ/m inverz csillapítással kell szorozni, mint a T kinetikai tagot:
L = (T-U)etβ/m
hogy aztán végül az eltűnjön egy egyszerűsítéssel.
Na és akkor mit mutat a formalizmus a rendszer E=T+U teljes energiájára?
