Az, hogy a geodetikus globális szélsőérték lenne, az egy nagyon elterjedt közkeletű tévedés.
A geodetikus az egy extrémum. Ami azt jelenti, hogy legfeljebb lokálisan szélsőérték, de még ez sem kötelező számára, lehet inflexiós pont is.
A geodetikus egy olyan görbe, melynek az ívhossza a görbe variálására első rendben nem változik. Ennyit jelent, hogy extrémum. Tehát: legfeljebb lokális szélsőérték, de egyaránt lehet minimum, maximum és nyeregpont is.
Eleve, a téridőben 2 esemény között nem is feltétlen csak egyetlen geodetikus húzható, húzható kettő, három, sőt akár sokkal több is.
Pl. geodetikus egy elnyúlt ellipszispálya, ami ugyanakkor tér vissza mint mondjuk 2 kör megtétele körpályán, ami ugyanakkor tér vissza, mint amit jó magasra függőlegesen feldobtam. Ez 3 geodetikus ugyanazon téridőpontok között, mindhárom más-más ívhosszal. A nem-geodetikusok pedig lehetnek rövidebbek és hosszabbak is náluk.
A GPS műholdak 4 Földsugár magasságban keringenek.
45 usec lenne a sajátidő többlete naponta, ha olyan magasságban állna.
De csak 38 usec a sajátidő többlet, a -7 a keringésből jön.
De ha veszem azt a geodetikust, ami nem kering, hanem függőlegesen feldobom és pont egy nap alatt esik vissza, na annak meg a leghosszabb a sajátideje.
A +45 usec nem csak tisztán a gravitációs potenciálkülönbségből adódik? Tehát két olyan óra között, amelyek nem forognak együtt a Földdel. A -7usec meg tisztán csak a Földfelszíni meg a geostacionárius pálya sebességkülönbségéből.
Legalábbis nem tudom, hogyan lehetne összeegyeztetni a következővel:
a GPS holdak óráinak eltérését jó közelítéssel lehet olyan egyszerűsítéssel számolni, hogy külön kiszámolják a magasságkülönbségből adódó eltérést ami +45usec, meg a pálya menti sebességből adódót, ami -7usec, és az eredő 45-7=38usec ami stimmel is.
A 45 lenne az ha egy toronyban ül, nem? Vagyis a toronyban ülő öregedne gyorsabban mint a keringő.
Az jön ki, hogy két esemény (téridő pont) közt a geodetikus vonalakon a leghosszabb a sajátidő, vagyis az a testvér, aki egy ilyen súlytalansági (műhold) pályán kering a Föld körül, gyorsabban öregszik még annál is, mint aki mindvégig egy toronyban ücsörög a Föld felett, a keringő testvér pályájával azonos magasságban.
A sajátidők közvetlenül nem a "gyorsulási környezet"-től függenek, hanem a sebességektől. Általános esetben a sebességek abszolút értékeinek koordinátaidő szerinti vA(t) és vB(t) függvényeiből képzett ismert gyökös kifejezések integráljait kell kiszámolni a két találkozás között:
int[sqrt(1-vA(t)2/c2)]dt,
int[sqrt(1-vB(t)2/c2)]dt.
No de mihez képest mérjük a sebességfüggvényeket?
Ha nem érdekelnek a gravitációs hatások, akkor görbületlen téridőben egy tetszőleges inerciális mozgást végző megfigyelőhöz képest, vagyis Minkowski koordináták szerint mérünk és integrálunk.
És ha pusztán annyit írtunk elő, hogy a gA(t), gB(t) gyorsulásvektorok abszolút értékei legyenek mindig azonosak, úgy a fenti integrál abban az esetben lesz a legnagyobb, ha a gyorsulás mindig merőleges a pillanatnyi sebességre, vagyis akkor, ha nincs pályairányú gyorsulás, tehát arra a testvérre, aki változatlan abszolút értékű sebességgel keringve csücsül a Föld felszínén.
Ha viszont a gravitáció hatása is érdekel, akkor a jelenlévő gravitációs források (mondjuk a Föld) által létrehozott görbült téridőben mérünk és integrálunk. A sajátidők képletei változatlanok, csak egy ilyen koordinátarendszerben mások lesznek a sebességek vA(t) és vB(t) függvényei, és a görbült téridő metrikus tenzora miatt mások lesznek az integrálok is. Az jön ki, hogy két esemény (téridő pont) közt a geodetikus vonalakon a leghosszabb a sajátidő, vagyis az a testvér, aki egy ilyen súlytalansági (műhold) pályán kering a Föld körül, gyorsabban öregszik még annál is, mint aki mindvégig egy toronyban ücsörög a Föld felett, a keringő testvér pályájával azonos magasságban. Lehetnének persze mindketten a Földfelszín közvetlen közelében is, csak ott a levegő miatt elég nehéz elérni a súlytalansági pályához szükséges sebességet, s útban lennének a hegyek is.
Jó:) De ki kéne számítani, hogy milyen feltétele mellett teljesül az, hogy az utazó mozgásából származó idődilatáció kevesebb legye, mind a gravitációs idődilatáció.
Azt kéne kiszámolni, hogy milyen :H: magasságon kell megálljon az utazó a :h:-hoz képest, ami a földi iker magassága, és hogyan jut el oda. Ha nagyon lassan, akkor lehet, hogy működne a kisérlet.
A Földön a :g: gyorsulású környezetben a két iker órái egyformán járnak, ha egymás mellett állnak.
A Földön maradt ikernek a rendszerében az elindulás a (ct1,x1,y1,z1) és visszatérés a (ct2,x1,y1,z1) esemény, ezek között Δt idő telt el a óráján mérve.
Az utazó testvér ugyancsak a (ct1,x1,y1,z1) eseményből indul és a (ct2,x1,y1,z1) ér vissza a Földre.
Mivel a Földön maradt iker meg se mozdult a Föld rendszerébe, neki a specrel téridőben megtett útja a következő képpen számítható ki:
(ct1,x1,y1,z1) és (ct2,x1,y1,z1) események teridőbeli távolságát felosztom infinitizimális hosszakra , azaz:
(cdt)2- (dx)2-(dy)2-(dz)2=(cdt)2,
Ha ebből gyököt vonok és leintegrálom t1 és t2 között, adódik c(t2-t1)=cΔt, merthogy ha x1=x1, akkor dx=o és ez a többi térkoodinátára is igaz.
Ez a Földi testvér által megtett út hossza a téridőben a két esemény között.
De az utazó iker elment és visszajött, így a térkoordinátái változtak.
Abban az esetben, amikor a Földi iker nézőpontjából, egy mozgó anyagi pontnak a térkoordinátáinak négyzete nem zérus, akkor az úthossz képleténél a c2(dt2-dt1)2 értékből kivonok egy számot és azt leintergrálom t1 és t2 között, az eredmény kisebb lesz mind a cΔt.:)
Tehát, bármilyen girbe-görbe utat is járt be az utazó iker téridőben és bármilyen messze jut a Földtől és onnan visszajött, fiatalabb lesz mind a Földön maradt testvére.
A földfelszínről felemelkedés lehet egyenes vonalú egyenletes mozgás is, ha alulról tolják az űrhajót mondjuk lézerrel. Ez esetben ez történhet olyan lassan, hogy a gyorsulásbeli különbség csak néhány másodpercig hat. Aztán ahogy egyre gyengül a föld (meg a nap, satöbbi) gravitációja, úgy lehet az űrhajó saját hajtóművét egyre jobban feltekerni.
Legyél kicsit nagyvonalúbb. Elméletileg, s a jövőben technikailag is simán megoldható, hogy végig egy g hasson az utazóra, vagy csak egészen elhanyagolható különbség legyen. A pohár vizes feltételed elég laza korlátot ad ehhez, másrészt meg értelmetlen, mert amikor gyorsításból fékezésbe vált, akkor nyilván kiömlik, de a gyorsulás iránya nem eleme az idődilatációs hatásnak. Ne a mai rakétákban gondolkodj, eleve a kérdés is elméleti..
A két tesó teljesen ugyanolyan gyorsulási környezetben volt végig
Tegyen le a két tesó maga elé az asztalra (egyikük otthon, a másikuk az űrhajóban) egy-egy tele pohár vizet, aztán idulhat az űrhajó. Amikor hazaér, hasonlítsák össze a poharak tartalmát, és beszéljék meg, tényleg "ugyanolyan gyorsulási környezetben" voltak-e.
Van két ikertesó. Az egyik beül egy űrhajóba, és g-vel gyorsulva elindul egy tetszőleges irányba. A tesója itt marad a földön. Az űrhajós egy idő után eléri a fénysebesség felét, ekkor elkezd g-vel lassítani. Mikor ugyanannyi ideig lassult, mint előtte gyorsult, elindul vissza a földhöz, először g-vel gyorsulva, aztán g-vel lassulva.
Vajon a két tesó a találkozáskor ugyanannyi idősnek néz ki?
A két tesó teljesen ugyanolyan gyorsulási környezetben volt végig, csak az egyik a másikhoz képest fénysebességgel utazott, de valójában a másik is az egyikhez képest.
Előbbihez hozzátartozik még egy feltétel (a nagy skálán alig görbült dolog felhasználása), hogy se az indulási helyük, se az útjuk nem olyan ahol a lokális görbület elrontja a játékot, pl. ha csillagok, galaxisok, fekete lyukak közelében vezet az út, az kisebb-nagyobb eltérésekre vezet.
Az Univerzum térideje nagy skálán alig görbült. Emiatt be lehet skálázni értelmesen elég jó közelítéssel globálisan. A kozmikus időt úgy lehetne szemléltetni, hogy olyan képzeletbeli órák által mutatott idő, amely órák:
- az ősrobbanáskor kezdtek járni nullától indulva
- mindegyik éppen áll az adott helyén levő kozmikus háttérsugárzáshoz képest (egymáshoz képest persze távolodnak a tágulás miatt)
Ha egy zöld fényből piros lesz, azt én hajlamos vagyok szín (és persze frekvencia) változásnak tekinteni... :-)
OK. Csak arra akartam felhívni a figyelmedet, hogy a foton menetközben nem nyer és nem veszít energiát, egyszerűen csak a különböző helyeken más sebességgel telik az idő. Ezért ami alul zöld, azt fent vörösnek érzékelik, mert gyorsabban ketyeg az órájuk.
(Egy Hraskótól vett hasonlattal: Ha egy torony aljából felfelé egy géppuska sorozatot lövünk szigorúan azonos időközönként, akkor a torony tetején ezt az ismétlődési frekvenciát is "vöröseltolódottnak" fogják találni. Na már most egy ismétlődési frekvencia hogyan tud energiát veszíteni?) :o)
Egy lent kisugárzott foton a gravitáció ellenében haladva energiát veszít, csökken a frekvenciája, így fent azt látják hogy lent lassabban mennek a dolgok - és fordítva.
Figyelmedbe ajánlanám a linkelt irodalom 56.-ik oldalát
"Hangsúlyozzuk, hogy mialatt a fény az adóból a vevőbe jut, nincs frekvenciaváltozás (ν =konstans). A kibocsátott és a megfigyelt fény frekvenciája azért különbözik egymástól, mert a koordinátaidő és a sajátidő közötti kapcsolat az adó és a vevő helyén nem ugyanaz."
