Aminek van egy elég jól matematizálható modellje az egy klasszikus mechanikai Langrange-hatással leírható elméletcsalád, ahol a Lagrange-függvény invariáns valamilyen Lie-csoportra, lokális trafókat véve. Az innen származtatható Lie-algebrák, ill. az előbbi fizikai elvet (ötletet) lehet olyan "bundle"-okkal, meg konnexiókkal is kifejteni, valószínűleg szabatosabban, ha éppen muszáj. Amikor a Lie-csoport az SU(N), akkor beszélünk Yang-Mills elméletekről.
De a részecskefizika Standard Modellje azért innen még igen messze van.
az örökmozgós hasonlatod azért sántít egy kicsit szerintem
Persze, hiszen minden hasonlat sántít. A lényeg azonban közös: az örökmozgó megalkotója azt állítja, hogy a szerkezet működését a konstrukciója biztosítja, pedig nem az, hanem az, hogy lökdösi. A kvantumtérelmélet használói hasonlóképpen felállítottak egy konstrukciót ami - az örökmozgóhoz hasonlóan - működésképtelen, hiszen divergens sorokat eredményez. A kvantumtérelmélet sikerét sem az elmélete biztosítja, hanem az a "lökés", vagy inkáb "belepiszkálás", hogy a végtelen összegekből végtelen nagyságú tagokat elhagynak. Ebben az a rossz, hogy, mivel logikailag nem konzisztens, elvileg bármilyen eredmény kihozható belőle (egy ellentmondásos axiómarendszerben tetszőleges állítás - következésképpen minden állítás ellenkezője is - bizonyítható). Az "elmélet" szigorúan véve semmitmondó.
Érdekes, amit mondasz. Ezek szerint a Bailin könyv kapcsán szóbakerült gauge field theory az fizikai elmélet, aminek matematikai modellje is van? (amiben bundle és connection szerepel, mint legfőbb jellemző. Ha ezt ismered, mi a neve? Talán forrást is tudsz adni?)
Amit a renormálásról mondtál, abból csak annyit tapasztaltam eddigi olvasmányaimban, hogy matematikailag nem valami elegáns, ahogy Mr. L.Q. is mondta ("szörnyűség"), de az örökmozgós hasonlatod azért sántít egy kicsit szerintem. Számomra korrektnek tűnik, és működik is. Azonban magához a gauge field theory-hoz ennek semmi köze.
Feynman pályaintegrálja megint egy (jelenleg) matematikailag nem túl jól definiált objektum, ne is akarjuk nagyon megfirtatni az epszilonjait. :) Viszont rendkívül hasznos számolgatásra. Egy fizikusnak ennyi elég, egy matermatikusnak meg nem. Wiener funkcionálintegrálja (stochasztikus folyamatok, pl. Brown-mozgás) viszont (azt hiszem) teljesen jól definiált, mert ott nincs i betű az exponenciálisban.
Fizikusoknak biztos jó. Nekem azért nem, mert nem szerepel benne sem a "bundle", sem a "connection" szó, pedig a mérceelméletek matematikai modelljének ezek az alapfogalmai. Persze, nyilván lehet enélkül is foglalkozni vele, de ez olyan, mint amikor valaki Minkowski-terek nélkül foglalkozik specrellel, Riemann-geometria nélkül áltrellel, Hilbert-terek nélkül kvantummechanikával, vagy szimplektikus formák nélkül Hamilton-féle mechanikával. Meg amikor, ha egy sor divergens, akkor nem a modelljét módosítja, hanem levon belőle egy végtelen nagyságú tagot, mondván, hogy az a vákuum tömege (ld. renormálás). A fizikusok egy részét az ilyesmi nem érdekli, mert ők nem a logikai épségre és szépségre ügyelnek, hanem kicsit olyanok, mint az egyszeri örökmozgókészítő, aki az interjú alatt időnnként lök egy kicsit az örökmozgóján, hogy ne álljon meg. Persze, tudom, ez kicsit sértő a fizikusoknak, de amit például a renormálással csináltak annak idején, az pontosan ilyen volt.
Egyik könyvemben találtam érdekes képleteket a pályaintegrállól. A pályaintegrált Feynman előtt Norbert Wiener alkalmazta először a valószínűségszámításban,a sztochasztikus folyamatok leírására. A kvantummechanikai alkalmazhatóságát Mark Kac is felismerte Feynman előtt,de Feynman tette sikeressé.
pszi(x,t)=int(Kt(x,y)pszi(y,0)dy)
ahol Kt(x,y)=bra(x)exp(-iHt/hvonás)ket(y)
Kt az integrál magfüggvénye,ezt N egymás utáni,epszilon=t/N hosszúságú szakaszból kell összerakni,és a végén N-hez végtelenhez kell tartani. Ez azért kell,mert Feynman rájött akkor,hogy az
exp(-iHt/hvonás)=exp(-iTt/hvonás)exp(-iVt/hvonás) egyenlet nagyon rövid időkre igaz,de hosszabb időkre nem teljesül,mert a mozgási és a helyzeti energia operátora nem kommutál egymással.
Kt(x,y)=bra(x)exp(-iTt/hvonás)exp(-iVt/hvonás)ket(y)=gyökalatt(m/2pi i hvonás)exp(i/hvonás(m/2 ((x-y)/t)2-V(y))t)
a szétbontás után:
Kt(x,y)=limNtart végtelenhez(m/2pi i hvonás t/N)N/2int(dxN-1dxN-2..dx1exp(i/hvonás szumman=o-tól N-1-ig(m/2((xn+1-xn)/t/N)2-V(xn))t/N)
S(x'(t'))=intt,x-től 0,y-ig L(dx'/dt,x')dt'
Kt(x,y)=itnx-től y-ig Dx' exp(iS(x'(t'))
"A félklasszikus határesetben az S hatás "klasszikus" méretű:ha S sokkal nagyobb,mint hvonása,amit formálisan a hvonás tart nullához határeset fejez ki. Ilyenkor a pályaintegrál vadul oszcillál,kivéve ott,ahol az S(x'(t')) hatásfüggvénynek szélsőértékei vannak:a legkisebb hatás Hamilton-elvének megfelelő,klasszikus pályákon,ahol a hatás variációja eltűnik:dS=0. (d ilyenkor a variálást jelenti). Ebben a határesetben tehát csak a klasszikus pályák adnak járulékot a kvantummechanikai időfejlődésbe.
A kapott határeset azonban félklasszikus,nem teljesen klasszikus:amennyiben több extremális pálya létezik,pl. egy kétrés-interferenciakísérletben a két résen áthaladó egy-egy pálya,ezek mind kiválasztódnak,megmaradnak,az ampiltúdóik összeadódásával interferálnak is.
Maga az extremális pályák kiválasztása is a hullámok nyelvén igazán szemléletes:S/hvonás az adott pályán haladó hullám fázisa. Az extremális pálya közelében ez nem változik:a szomszédos pályák sokaságán ugyanazzal a fázissal fut be a hullám,egymást erősítve,masszív hullámfrontot alkotva. Ugyanez a mechanizmusa annak is,ahogy a fénysugár kialakul a hullámokból,a Fermat-elvnek megfelelő extremális pályák mentén.
A félklasszikus határesetben,az attól kicsit eltérő "kvantumkorrekciók" megtalálásában,és a félklasszikustól nagyon eltérő,mélyen kvantumos jelenségek világában is Feynman pályaintegrálja nemcsak az elvek megfogalmazásának szép kerete,hanem hatékony technikai eszköz is nehéz feladatok megoldásában."
A kvantumtérelméletek matematikai szempontból olyasmik, mint a differenciálszámítás Leibnitz és Newton után egy évszázaddal. És lehet, hogy soha nem bukkan föl Cauchy vagy Weierstrass. A renormalizálás matematikai szörnyűség, de nagyon jól működik.
Ha a "mérceelméletekre" (=gauge theories = mértékelméletek ?) vagy kíváncsi, akkor miért nem jó a Bailin könyv? Szerinted nem arról szól, mint ami a címe?
Egyébként már Mr.L.Q. is elmondta, ha jól emlékszem, hogy az SM több elméletből áll, és nem egy lezárt, egységes valami, ezért az SM matematikai modelljére szerintem hiába vadászol. A "non-abelian gauge theory" viszont az elektrogyenge és erős kölcsönhatások matematikai tárgyalásának alapja, mondhatjuk modellje szerintem.
Szerintem magyarul sem vagyok "perfekt", angolul pedig pláne nem. (Még ha általában tudom mondani nagyjából angolul is azt, amit akarok, nem csak azt, amit tudok.) Ja, Lomb Kató könyveit nagyon szerettem. :)
Talán elkerülte a figyelmedet, de a mai matematika kicsit több, mint az epszilon-delta:-)
Mint már említettem, engem nem az inspirál, hogy minél többet minél felületesebben ismerjek, hanem az, hogy amivel fogalkozom, azt minél teljesebb módon értsem. Nem sújt le különösképpen, ha ebbe soha sem fog beleférni a Higgs-bozon, bár nagyon szép lenne, ha mégis beleférne.
Tényleg nagyon aranyos szimbólum, és még művészi vonatkozása is van: a nabla nevű föníciai hangszerről kapta a nevét, mert nagyon hasonlít rá az alakja:)) Vannak, akik kiírják, vannak, akik nem: pl. az ELTE Csillagászati Tanszékének Interaktív Csillagászati Portálján (ICSIP) Forgácsné Dr. Dajka Emese nem írta ki a szoláris magnetohidrodinamika egyenleteiben, hanem inkább azt írta ki, hogy grad, div, rot:)) Talán mert attól tartott, hogy az ICSIP nem minden olvasója fogja érteni, hogy mit jelenthet az a "fejjel lefelé fordított nagy delta":)) De Dr. Petrovay Kristóf Tanár Úr bezzeg kiírta a Kozmikus fizika jegyzetében:))
Egyébként "mindent tudni matekból" annyi, mint egy nyelvből "perfektnek" lenni: amint a nyelvtudást illetően is nézőpont kérdése, hogy ki számít "perfektnek" (szerintem az, aki idegen nyelven is azt mondja, amit akar, nem pedig azt, amit tud, és ezt Te tapasztalatból is tudhatod, ha Angliában élsz), úgy van ez a matekkal is: aki nem érti, annak számára "elveszik benne a fizika". És a matek is "nyelv", a fizika nyelve, amit sokkal élvezetesebb úgy tanulni, ha van mögötte fizikai tartalom is. És amint Lomb Kató sem úgy tanulta a nyelveket, mint ahogyan az iskolában tanítják: olvasás-fordítás, szótározás, stb., hanem ha már volt egy bizonyos szókincse, elkezdett olvasni idegen nyelvű könyveket, és a mondatok tartalmából próbálta "felfedezni" az ismeretlen szavak jelentését is, meg a nyelvtant is, a matekot is lehet úgy is tanulni, hogy pl. a Kepler-egyenlet, vagy a pályaszámítás, stb. egyenleteinek levezetését tanulmányozva begyakorolni. Így lehet, hogy nehezebb, de érdekesebb, nem olyan unalmas, mint a fizikai tartalom nélküli differenciálegyenletek..... Dr. Hetesi Zsolt is egyébként viccnek szánta azt, hogy "matek brrr": valójában azért voltak szórakoztatóak az előadásai, mert a kozmológia közepette el is magyarázta annak a matematikáját is, úgy, hogy általa azok is mindent megértettek, akik előtte nem voltak "perfektek" matekból: még gyakoroltatott is bennünket olyan érdekes példákkal, amelyek mögött volt valós fizikai tartalom is..... Marschalkó Gábor ugyanezt csinálta égi mechanikából, bár az Ő levezetéseit már többen is túl gyorsnak tartották:))
"Én akkor fogom elolvasni, ha már máshonnan megtanultam, hogy van ez rendesen."
Egy olyan szakterületen, ahol a renormálás az élet része várhatsz még egy kicsit, amíg "rendes lesz". :) No és persze a szumma, a deriválás és az integrál felcserélése előtt sem igazán szokás kiepszilonozni, mert akkor soha nem jutsz sehova. :p
Ha nem kerül nagy fáradságba, keress nekem hasonlókat, szivesen olvasnék könnyebbet is. Jó lenne valami példatár is, megoldásokkal, hogy a számolásokat begyakorolhassam. Eddig egyet találtam a térelmélet-témában az amazonon :
Voja Radovanovics: Problem book in QFT. (Springer, 2008)
Ez még mondjuk aranyos szimbólum.:)Azért szeretem,mert így nem kell leírni,hogy grad,div,rot,Laplace.Bár amúgy nekem világosabb minden,ha a komponensekre vonatkozó egyenleteket írom fel.
Nem olvasom, mert nem arról szól, amire kíváncsi vagyok. Én a mérceelméletek, ill. a standard modell rendes matematikai modelljére lennék kíváncsi. Szóval lehet, hogy a könyv nehezen érthető, de semmiképpen sem azért, mert túlságosan matematikus szemléletű, hanem épp ellenkezőleg. Egyébként pont ilyet kértem Mr. L. O.-tól, nem is számítottam másra. Én akkor fogom elolvasni, ha már máshonnan megtanultam, hogy van ez rendesen.
"Ha D jelenti ezt a jobbra-balra szimbolumot,akkor úgy emlékszem ezt jelenti
aDb=(Da)b+a(Db) szóval egyszer előre hat,aztán hátra aztán a két tagot össze kell adni.De azért még utána nézek,hogy tényleg jól emlékszem-e erre."
Ez nem igaz,tévedés!
Megnéztem a Patkós-Pólonyi:Sugárzások és részecskék című könyvet:
U(1) szimmetrikus komplex tér esetén a Lagrange-függvény:
L=(dnüfi*)(dnüfi)-m2fi*fi-V(fi)
dnünyíl: a parciálás differenciálást jelenti,ami felett az oda-vissza nyíl van.
fi=(fi1+i fi2)/gyök2
fi*=(fi1-i fi2)/gyök2
jnü=(dnüfi1)fi2-(dnüfi2)fi1=i/2 fi*dnünyílfi
Ennyi volt leírva a könyvben a többit az olvasóra bízták.A lényeget ki kell találni,elhallgatják.:)Hogy fi*dnünyílfi mit jelent,arról a könyvben nem írtak semmit.
A jnü a négyesáram sűrűség,fi a komplex mező hullámfüggvénye,fi* ennek komplex konjugáltja.Ezután ezekből a megfelelő transzformációval át kell térni a fi1,és fi2 függvényekre,amiket egymástól függetlenül kell kezelni.
Tovább számoltam,ez nem volt benne a könyvben:
fi1=(fi+fi*)/gyök2
fi2=(fi-fi*)/gyök2
Ezek alapján az jött ki:
fi*dnünyílfi=2(fi*dnüfi-fidnüfi*)
Oda-vissza helyettesítettem:egyszer fi1,fi2 pár felhasználásával,aztán a fi,fi*pár felhasználásával,és mindkétszer ez jött ki.
Ha nagyon nehezen haladsz vele, akkor mindenképp érdemes visszavenni a matekból, mert egyszerűen elmegy melletted a fizika. Ezt a könyvet olyanoknak ajánlottam, akik "mindent tudnak matekból" ;) (szóval magamnak sem :D ). Ha akarod, kereshetek neked valami könnyebb olvasmányt elsőre.
Ezt Dr. Hetesi Zsolt úgy mondaná, hogy "mondd meg, hogy számodra a matek "brrr" vagy sem, és akkor annak megfelelően keresek neked valamit":)) Kozmológia előadásain azzal szórakoztatott bennünket, hogy mindig, amikor egyenletek következtek, mielőtt felírta őket a táblára, előtte azt is odaírta, hogy "matek brrr":))
