A válasz mindkettőtöknek szólt. Elnézést, ha érthetetlen voltam, de amikor ezt írtam, meg voltam róla győződve, hogy aki tanult Hamilton-féle mechanikát, annak tanulnia kellett a Liouville-tételt is. Mivel azt írtad, hogy nem érted, meg is akartam neked keresni a Budó Mechanilában, de nem találom benne, úgyhogy valószínűleg tévedtem. Esetleg statisztikus mechanikából jöhetett még elő a tétel. A Hamilton-féle mozgásegyenletek, és fázistér fogalma azért gondolom nem ismeretlen számodra sem. Ezekről van szó. Van egy jó könyv a témában magyarul is, V.I. Arnold A mechanika matematikai módszerei. Az nagyon szépen vezeti át az olvasót a newtoni leírástól a Lagrange-félén keresztül a hamiltoniig, és abban persze benne van a Liouville-tétel is. Egyébként Hamilton is és Liouville is a 19. században élt, tehát a Liouville-tétel klasszikusabb, mint a Heisenberg-féle határozatlansági relációk. Persze a nonsqueezing theorem már nem.
Tegyük fel, hogy egy hamiltoni rendszer állapotáról annyit tudunk, hogy az állapota a fázistérben egy R sugarú gömbben van. Ekkor ennek a gömbnek az (xi, pi) síkra való vetületének a területe πR2. Ezt interpretálhatjuk az i-edik koordináta és a hozzá kanonikusan konjugált i-edik impulzus együttes bizonytalanságaként. Az elég közismert dolog, hogy ez a fázistérbeli gömb a térfogatát a rendszer bármilyen hamiltoni fejlődése során megtartja (ez Liouville tétele). De ettől még előfordulhatna, hogy az (xi, pi) síkra vonatkozó vetületének a területe akármilyen kicsire összezsugorodhat (más irányban persze ekkor nőnie kell). A meglepő az, hogy nem így van! Akárhogy is torzul el a gömb (betartva a hamiltoni mechanika szabályait), az egymáshoz konjugált koordináta-impulzus síkokon ennek az eltorzult alakzatnak a vetülete végig megtartja a területét! Vagyis az egymáshoz kanonikusan konjugált mennyiségek együttes bizonytalansága nem csökken a rendszer időbeli fejlődése során. Ez nem túl régi felismerés, Mihail Gromov 1985-ben bizonyította be, hogy így van (nonsqueezing theorem). Népszerűbb nevén ez a szimplektikus teve tétele (azért szimplektikus, mert az a bizonyos fázistérbeli hamiltoni fejlődés valójában egy szimplektikus folyam, amelynek a generátorfüggvénye a Hamilton-függvény). Szóval ez a szegény teve bizony nem tud átmenni a tű fokán. (Persze Gromov tevéje egy gömb, a tű pedig egy henger. A tétel azt mondja, hogy R sugarú hengerbe csak R-né kisebb sugarú gömböt lehet szimplektikus transzformációval belegyömöszölni.)
Pl. a korlátozott háromtestprobléma (amelyben a harmadik test tömegét elhanyagolhatónak tekintjük) azon esetére gondoltam, amikor az elhanyagolható tömegű test mozgása kaotikus:
A korlátozott háromtestproblémában az elhanyagolható tömegű test helyzete és sebessége is változik a fázistérben. Az a görbe, amelyen a fázispont mozog, az ún. fázistrajektória. Ennek vizsgálatára a Poincaré-féle metszésfelületi módszert szokták alkalmazni, amelynek lényege az, hogy a fázistrajektória útjába egy síkot helyezünk el a fázistérben, és a fázistrajektória vizsgálata helyett a metszéspontok elhelyezkedéséből következtetünk a rendszer viselkedésére. Ha a metszéspontok rendezetlenül, a metsző sík tartományát teljesen kitöltve helyezkednek el, az elhanyagolható tömegű test mozgása kaotikus. Ez akkor következik be, ha mozgási energiája nagy, mert akkor egyszerre több rezonancia hatása alá kerül. Ilyenkor mozgása szabálytalanná, előre megjósolhatatlanná válik, pályája (pályaelemei) nem számítható ki előre......
Gondoltad volna például, hogy nemcsak a spinnek, hanem még a határozatlansági relációnak is megvan a klasszikus megfelelője?
Arra gondolsz netán, hogy a Gauss hibafüggvény Fourier transzformáltja is Gauss hibafüggvény, és a megfelelő kvadratikus hibaátlagok fordítottan arányosak (szorzatuk =1)? Ha ebben u.i. az Einsteini p=hvonás*k, ill. E=hvonás*omega helyettesítéseket elvégezzük, akkor a deltaE*deltat=a*hvonás ill. deltap*deltax =a*hvonás jön ki, ahol 'a' minimális értéke 1/2.
Engem igazából a dolgok belső logikája érdekel, lényegében függetlenül attól, hogykonkrétan miről van szó. Ebből közvetlenül adódik, hogy melyik a számomra hasznosabb nyelv. Most például épp egy olyan könyvet olvasgatok, ami szándéka szerint világosabbá teszi a klasszikus és a kvantummechanika kapcsolatát (M. A de Gosson: The principles of Newtonian an Quamntum Mechanics). De nem szóvirágokkal, hanem konkrét matematikai tételekkel (egyébként Feynmann-féle path intgral is szerepel benne). Gondoltad volna például, hogy nemcsak a spinnek, hanem még a határozatlansági relációnak is megvan a klasszikus megfelelője?
Fizikusoknak biztos jó. Nekem azért nem, mert nem szerepel benne sem a "bundle", sem a "connection" szó, pedig a mérceelméletek matematikai modelljének ezek az alapfogalmai
Most olvasgatom egy neves fizikus, A.Zee: QFT in a nutshell c. könyvét, melyben az alábbi mondatot találtam (nem kínlódok a lefordításával):
Indeed, there is a one-to-one translation between the physicists language of gauge theory and the mathematicians language of fiber bundles.
Egyből eszembe jutott a régebbi, 763-as üzenetedből fennt idézett mondat, valamint az is derengeni kezdett, hogy évekkel ezelőtt olvastam egy remek anyagot Sean.M.Carrol tól (Lecture Notes on General Relativity, az internetről letölthető). Elővettem, kikerestem a harmadik fejezetét, ahol futólag ír ilyeneket:
We now have the means to compare the formalism of connections and curvature in Riemannian geometry to that of gauge theories in particle physics.In ordinary electromagnetism the connection is just the conventional vector potential.Our (értsd matematikusok) conventions are so drastically different from those on the particle physics literature that I wont even try to get them straight.
Ez az utóbbi a lényeg a Te fentebb idézett mondatodat illetőleg: ebben a témában a matematikusok és fizikusok teljesen külön nyelven beszélnek, ezért nem találtad a keresett szavakat a Bailin könyvben.
Pedig hát ezek szerint: connection = gauge field, fiber bundle = a base manifold (for us, spacetime) internal, belső vektortere, a vizsgált skalár vagy spinor tér maga, amire a Lagrange függvényt építjük, és amire a mértékszimmetriát elő akarjuk írni, stb. Jó lenne összeállítani egy szótárt, de ehhez mindkét területet alaposan ismerni kellene.
Így sincs kedved a könyv tanulmányozására?
Még annyit szeretnék mondani,hogy a Boltzman-statisztika és a Bose-statisztika között van még egy lényeges különbség. Ha van három cella,amibe három részecskét lehet rakni,akkor a különböző elrendezésekhez tartozó mikroállapotok száma
Itt a részecskék azonossága miatt a részecskék felcserélése nem ad új mikroállapotot.
Bose statisztikában a legvalószínűbb eloszláshoz az egyenetlen (2,1,0) elrendeződés tartozik,vagyis az egyik cellában egyel több részecske van,a másik pedig üres. Arra gondolok,hogy ez összhangban van a vákuumfluktuációkkal. Ugyanis a részecskék megkülönböztethetetlensége miatt az egyenetlen eloszlás sokkal valószínűbb,mint a teljesen egyenletes eloszlás. Ennek köszönhető,hogy sztatikus térben felléphet a spontán emisszió,mert ezek a pici fluktuációk indukálják az emissziót.
"Nem kellene kicsit utánanézned, hogy mit jelentenek a "potenciál", energia,munka, stb. fogalmak? ;)"
Nem emlékszem,hogy pontosan hol voltak konvekciók.Mondjuk az optikában sok van,arra még emlékszem,mert az elektrodinamikában a töltések előjele is konvenció.
"Házifeladat: mikor nem beszélhetünk potenciálról egy erőtérben? "
Ha örvényes az erőtér akkor nincs potenciál.Vagyis konzervatív az erőtér,vagyis a kezdeti és végpont potenciálja határozza meg a munkavégzést,a pálya hosszától nem függ.
"Akkor az energia nullapontját a mechanika alapjainál eldöntötték?"
Nem kellene kicsit utánanézned, hogy mit jelentenek a "potenciál", energia,munka, stb. fogalmak? ;) Házifeladat: mikor nem beszélhetünk potenciálról egy erőtérben?
Köszi,most már átérzem!A klasszikus mechanikában csak az a lényeg,hogy az energia hely szerinti változása visszaadja a dinamikát meghatározó erőket.Akkor az energia nullapontját a mechanika alapjainál eldöntötték?
Relatban az a jó,hogy nem lehet az energiát tetszőlegesen tológatni.Mert az egyetlen konstans a nyugalmi energia.
Gondolom a potenciális energia nulla pontjának a lerögzítése kapcsolatban lehet a mozgási energia lerögzítésével.Mert ezeknek a különbsége nem változhat.
Igy van. Minden fizikailag ertelmezheto eredmeny fuggetlen attol, hogy minek valasztod meg a vegtelenben azt a potencialis energiat. Mivel a szokasos 0 valasztas mellett nem bukkan fol sehol kulon ez az onkenyes allando, azaz ez a legkenyelmesebb valasztas, ezert minek kellene bajlodni vele?
Hasonloan a mertekterelmeletekben is azt a merteket valasztjuk, amely az adott problemahoz a legkenyelmesebb, vagyis a legkevesbe bonyolitja a koztes szamolasokat.
Nem általában "az energiáról" volt szó, hanem kifejezetten a potenciális energia 0-szintjének választhatóságáról.
Mivel a számításokban a potenciális energia két hely közötti különbségének értéke szerepel általában - pl. a Mars pályájától a Merkúrig vagy a H-atom s pályájától a végtelenig - és nem egy helyhez tartozó értéke önmagában, így minden ugyanolyan marad, ha máshol választjuk meg a 0 szintet. Konvenció.
Akkor legfeljebb a 100J-nal kisebb energia adna az ellipszist, stb. Leginkabb Occam borotvaja tavolitja el ezt a felesleges (integralasi) allandot, azaz a pl. 100 J-t.
Nem lehet az energiát tológatni.Gondolj a bolygómozgások problémájára.Hogy az energiának milyen előjelűnek kell lennie,hogy ellipszis,parabola,hiperbola pályát kapják.
Ellipszisnél az energia negatív,parabolánál nulla,hiperboolánál pozitív.Ha nem adód meg az elektronnak a kilpépsi energiát vagy annál nagyobb energiáta,akkor hiába viszed egyre kiljebb mindig nulla alatt maradszUgyanis a távolság csökkenésével maga a potenciál is csökken.Ahoz,hogy eljuthasson a végtelenbe legalább a kilépési energiának megfelelő energiát kell adnod.
"Amiket a kvantumfizikában használatos valszámról mondasz, az önmagában helyes, csak nem értem, mire reagáltál, mert én ilyen kérdésekről nem írtam, és remélem, nincs is hajlamom összekeverni a Fermi-Dirac statisztikát a Boltzmann-statisztikával."
Ennél sokkal mélyebb különbség van. A Boltzman statisztikában részecskék pattognak egymással,és összességben statisztikusan visszaadják a makroszkópikusan mérhető mennyiségeket. Ha nagyobb a hőmérséklet akkor azt az okozza ,hogy a részecskék sebessebben mozognak,ha nagyobb a nyomás akkor azt az okozza,hogy a részecskék nagyobb nyomást fejtenek ki az edény falára,vagyis nagyobb impulzust közölnek vele. Boltzman megalkotta a fáziteret,ami tetszőlegesen pici lehetett,és minden részecske külön fáziscellába juthatot,de ha azonosba kerültek akkor is megkülönböztethetőek. Vagyis ha felcseréljük őket különböző mikorállapotot kapunk. Az entrópiának csak a változása volt meghatározható,maga a mennyiség nem,mert a fáziscella mérete nem volt meghatározott. Az entrópia nullapontját tetszőlegesen lehetett tologatni.
A kvantumstatisztikában két változás történt. Egyrész a fáziscella értéke a határozatlansági összefüggés által meghatározott lett:h3.Ahol h a Planc-állandó. Emiatt már nemcsak az entrópia változása hordoz fizikai jelentést,hanem maga az entrópia is,mert megjelent az S0 entrópiakonstans.Ez amiatt van,mert a fáziscella nagysága a kvantumstatisztikában pontosan meghatározót. Ez éppoly változtatás,mint az energiával történt,amikor áttértek a klasszikus mechanikáról a relativisztikus mechnaikára. A klasszikus mechanikában csak az energia különbségének volt fizikai jelentése,mert az energia akármekkora lehetett,mert az energia nullpontját szabadon lehetett megválasztani. Ez azzal volt kapcsolatos,hogy nem volt meghatározva a határsebesség. De a relativisztikus mechanikában már mivel a határsebességet pontosan beépítették az elméletbe(ez a fénysebesség),már nemcsak az energiaváltozásnak volt fizikai jelentése,hanem az energiának magának is. Ugyanis volt energiakonstans,nem lehetett többé tetszőlegesen megválasztani az energia nullapontját. Az energiakonstans az mc2 nyugalmi energia.
A kvantumstatisztikák másik változtatása az volt,hogy az azonos részecskék megkülönböztetése nem vezet új állapothoz. Vagyis,ha a részecskének az energiája,impulzusa,spinje,anyagi minősége,kvarkszíne,stb.. azonos,akkor hiába cseréljük fel őket nem kapunk új állapotot.Ebből az következik,hogy azonos részecskék felcserélésénél a közös hullámfüggvényük csak fáziseltolásban változhat.Mégpedig úgy,hogy visszacserélve őket visszakapjuk fázis terén is az eredeti hullámfüggvényt.Vagyis kétszeres cserénél a fázistolás értéke 1.Ez azt jelenti,hogy egyszeres cseréné a fázistolás vagy +1,vagy -1.A +1-es eset akkor fordul elő,ha az azonos részecskék bozonok,ilyenkor a hullámfüggvény szimmetrikus,a -1-es eset akkor fordul elő,ha az azonos részecskék fermionok,ilyenkor a hullámfgüggvény antiszimmetrikus.A fermionok félegész spinüek,a bozonok egész spinűek,mert -1x-1=1.Illetve a fermionhullámfüggvények,mivel antiszimmetrikusak,pl. emiatt nem lehet két elektron minden kvantumszámban azonos állapotban,mert csak a nulla betöltési szám azonos önmaga minuszegyszeresével.Ez a Pauli-elv.
De ezek csak következmények. Az igazi kérdés az,hogy az azonos részecskéknek,miért nincs öntudatuk,felcserélésük miért nem jelenthetnek új mikroállapotot. Ennek az az oka,hogy a mezők oszcillátorai jelentenek kvantumállapotot,amiknek a részecskék a gerjesztései. Ezek az oszcillátorok a fázistérben vannak,a h3 a kiterjedésük. A határozatlansági reláció ezeknek az oszcillátoroknak a félértékszélességének tekintehető,ugyanis a fázistér az impulzustérnek és a koordinátatérnek a szorzata(dpidxi>=hvonás/2). Vagyis egy harmonikus oszcillátor,ha n-edik nívón van,akkor ott egy darab n azonos részecske van. Mivel ezek mindjányan csak egy állapotot alkotnak,ezért nem vezet a cserélgetésük új állapotokhoz. Hiszen a nívószintek közötti különbségeket mi személyesítettük meg részecskéknek kihasználva azt,hogy a harmonikus oszcillátor energiaszintjei közötti különbségek azonosak. Csak a fázistér oszcillátorainak cserélgetése jelent különböző mikroállapotot. A kvantumtérelméletben a keltő és eltüntető operátorok ezekhez az oszcillátorokhoz tartoznak. Ezek a keltő és eltüntető operátorok keltik és tüntetik el a részecskéket.
Ez azt jelenti,hogy a szemlélet túl van hajtva. Eleve az alagúthatás paradox jellege is ezen alapul. Egy hullámnál ez egyértemű,mert a hullámszám egy energiájánál sokkal nagyobb potenciálfalon át tud hatolni képzetes impulzussal(hullámszámmal),csak nem tud rezegni,ha túlcsillapított állapotában exponenciálisan lecseng.
"Én nem tudok mögé megalapozott összefüggést tenni. Az elektron állapotfüggvénye absz.négyzetének van lokális maximuma az egyiknél és a másiknál is. És? Azt jelenti, hogy ha végrehajtunk egy mérést, akkor "a" valószínűséggel találjuk az egyik közelében, és (szimmetrikus esetben) ugyanekkorával a másik közelében. De miért "ugrana" ez egyiktől a másikig?
Ha meg nem mérünk, nincs konkrét helye. Sem egyiknél, sem másiknál, következésképpen nem is ugrál az egyik konkrét helyről a másikra."
Ebben igazad van. De ez a kifejezés,hogy virtuális elektronok ugrálnak,abból ered,hogy a részecskeszemlélettet túlhajtották. De a régebbi könyvekben ezek a kifejezések előfordulnak,és tudni kell. Ahogyan a Bohr-modellt is illik ismerni.:)
" továbbra sem látom, miért kéne belekeverni a leírásba "ide-oda ugrándozó virtuális elektronokat" meg hasonlókat. Ezeket nem csak a képszerű magyarázat kedvéért szövik bele az előadók az előadás felfokozott hangulatában?"
Egyrész igen,a részecskeképnek ez az alagúthatásos ugrálás felel meg. A részecskés képet nagyon szeretik példáként mondani,mert a klasszikus fizikai szemléletünkbe beletartozik. De,ha csak hullámképet használsz akkor elegendő kvantumrezonanciára gondolnod. Vagyis az atomok elektronjai közötti kicserélődési kölcsönhatás pontosan ugyanaz a jelenség,mint a kettős ingának a fizikája. Amíg nincsenek az ingák összecsatolva addig teljesen függetlenül periodikusan rezegnek,de amint összecsatoljuk őket,akkor lebegésszerű rezgést végeznek. A kicserélődési energia ebben az esetben az az energia,amit az egyes ingák cserélnek egymásnak,amiatt van az,hogy egyszer az egyik inga leng ki jobban,a másik kevésbé,aztán megfordul ez a szerep. De ha megfelelő módon állítjuk be a kezdeti feltételt,akkor ez a két inga kicserélődés nélkül,periódikusan leghet.Ezt kettős ingánál kétféle képpen lehet beállítani:1.a két inga azonos szögállásban van a rezgés kezdetén(fi1=fi2),2.a két inga ellentétes szögállásban van a rezgés kezdetén(f1=-fi2).Ez a kettős inga normált rezgései. Egy n-ingából álló csatolt ingasornak n darab normál rezgése van. A kettős inga lebegő rezgési állapotai előállítható ezen normálrezgések lineáris kombinációiként. (n-ngának n darabsajátrezgséből ki lehet keverni minden az ingasor összes lebegő rezgésállapotát) Ezt kell tenni a hélium esetén is. A két elektronjának hidrogénszerű hullámfüggvénye,ha nem lennének egymással kölcsönhatásban,akkor a hidrogén sajátállapotainál vannak stacionárius állapotban. A héliumatomban csatolás van köztük,így elhangolják egymást,ezért ezek a sajátállapotok a kettősinga lebegő rézgésállapotába megy át. A lebegés által ide-oda cserélgetett energia nagysága egyenlő a kicserélődési energiával. De ilyenkor új sajátállapotokat kell választani,amik lineárkombinációval bármely lebegő állapot kikeverhető. Ha Másrészt azért,mert a félvezetőkben az elektronok és lyukak vezetésénél is fellép ugyanez a kvantumos kicserélődés.
Ugyanúgy,ahogy a kovalens kötésben,a félvezetőkben is az elektronok(lyukak) nem tudnának az egyik iontól a másik felé haladni,mert ehez legalább a kötési energiát el kellene érnie,ami hidrogén esetén is 13,6 eV volt,ami nagyon nagy. Már pedig sokkal kisebb energiás elektronok(lyukak) is tudnak áramlani a félvezetőben. Szerencsére az alagúthatás segít nekik,vagyis ilyenkor is a virtuális elektronok(lyukak) ugrándozása játszik szerepet. Az alagúthatás révén az elektronok(lyukak) tökéletes kristályrács esetén ellenállás nélkül tudnának áramlani. Állóhullámok különböző módusait alkotják az atomok között,amik szuperponálódva hulámcsomagot alkotnak. Ez a hullámcsomag úgy viselkedik,mint egy klasszikus részecske(abszólút nulla fok körül még megőrzi a fázisát). A félvezetőben az elektronok ellenállását a kristályhibák jelentik,mert ezen a hullámcomagok szóródnak.Ez a kiszóródás jelenti a veszteséget. De,ha semmiféle rácshiba sincsen(még hőmozgásból adódó sűrűségfluktuáció sem) akkor az alagútazó elektronok teljesen ellenállásmentesen terjedhetnének.
Ha nem akarod ilyenkor sem kell a virtuális elektronokra gondolnod. Kristályrács esetén n-csatolt inga probléma van. A kölcsönhatásaik miatt elhangolják egymást,és lebegnek. Köztük van kicserélődés,amihez ugyanolyan kicserélődési energia tartozik,mint ami a héliumproblémánál is fellépet.Szintén érdemes megkeresni a normálrezgéseket,amiket a kvantummechanikában sajátállapotnak neveznek. Ekkor a Hamilton-operátor diagonizálni kell(mert a kcsrélődési energia a Hamilton operátor átlós elemeit alkotják,diagonizálni kell,hogy nem legyen lebegés). Ekkor automatikusan az állapottérnek is új sajátvektora lesz. Én nem ugráló elektronokra gondolok,hanem csatolt ingákra. De ez szerintem mindegy. Ehez az oktatáson kellene változtatni,hogy például a középiskolába ne csak a Rutherford-,és a Bohr-modellről tanítsanak. Sokan még mindig azt hiszik,hogy az elektronok,mint pici golyócskák keringenek a mag körül. Sajnos egyetemen is túl sokat beszélnek keringő elektronokról,pedig semmi sem kering.
