Persze, hogy nem a legbonyolultabb, és a témához legtávolabb eső példával kell kezdeni, hanem a legegyszerűbbel. A legegyszerűbb példa a lineáris harmonikus oszcillátor. Ennek a konfigurációs tere 1-dimenziós, tehát a fázistere 2, tehát ez még a 3-dimeziós világunkban is szemléltethető. Ha valakit érdekel, szívesen leírom, hogy ebben a példban konkrétan hogy néz ki a szimplektikus leírás, bár elvileg a 958. hozzászólás alapján ezt bárki megteheti maga is.
Hogy mire jó a szimplektikus geometria a fizikában? Azon kívül, amit Gálfi Gergő is említett, hogy koordinátafüggetlen leírást tesz lehetővé, máris egy csomó új törvényre derített fényt (pl. a már említett klasszikus határozatlansági reláció, vagy a galaxisok mozgásának törvényszerűségei) és nem csak a mechanikában, hanem az optikában is (pl. a kausztikák bizonyos törvényei. A kausztikákat egyébként Gosson intenzíven használja a mechanikában is. ). De engem speciel nem is a haszna érdekel, hanem az az újfajta szemlélet, amit nyújt. A már emllített Gosson-könyv is arra fekteti a hangsúlyt, hogy a szimplektikus leírás segítségével még mélyebb rokonságt mutasson ki a klasszikus mechanika, optika és kvantummechanika között annál, amiről eddig is tudtunk. Persze mindezt egy csomó egzakt tétel segítségével.
A könyvének van egy alcíme is: The need of planck's constant h. Szóval szerintem az ismeretek megértés elmélyítése a legfőbb haszna, ami persze elengedhetetlen ahhoz, hogy új felfedezésekre jussunk.
Hát ha az a cél, hogy az egyszerűbb halandók is értsék, akkor talán ne a csónakos példán, mert én azt sem értem, a szimplektikus geometriával együtt. Ahhoz, hogy kedvem legyen egy kicsit megismerkedni vele, azt kellene látnom, hogy mire jó az egész, pl. mitől más ez a geometria mint pl. a Riemann geometria, aminek alapjait kénytelen voltam úgy-ahogy megtanulni az áltrel megismerése céljából. Tehát a kérdésem az ebben a témában igen magas szinten vitatkozókhoz az lenne, hogy néhány szóban mondják már el, hogy a szimplektikus geometriának hol van szerepe, miben ad hasznosabb információkat a többi geometriánál a fizikai valóság leírásában, és ezt minek révén éri el. Sok ez?
Csónakos példádnak se füle, se farka. Tudományos szempontból nem sokkal értelmezhetőbb, mint egy dadaista vers. Egymással nem összefüggésben álló szavak kusza halmaza, mondhatni ez az ideális szógáz. Félek, a szimplektikus sokaságokat és más hasonló bohém dolgokat nem neked találták ki.
Végülis elég lett volna annyit pontosítanod a 962. hozzászólásodon, hogy ...többek között, az általad említett kanonikus koordinátázás tetszőleges szimplektikus sokaságon való lokális előállíthatósága.
Elbeszélünk egymás melett. Adott a szimplektikus sokaság definíciója, ami egy párosdimenziós diffható sokaság, felruházva egy nem elfajuló zárt 2formával. Az egy tétel, hogy adott konfigurációs térhez, és a hozzá tartozó Hamilton fg-hez megkonstruálható egy szimplektikus sokaság (fizikusan szólva, koordinátafüggetlen alakban felírjuk a Hamilton-egyenleteket), azzal a konstrukcióval, amit az előző két hozzászólásban te magad is leírtál. Csakhogy nem minden szimplektikus sokaság konstruálható meg ilyen koérintőnyalábként. Annyi mondható csupán, hogy lokálisan megtehető, erről szól a Darboux-tétel, és ennek bizonyításában használjuk ki a zártságot. Viszont akik szimplektikus mechanikát csinálnak - ha nem muszáj - nem teszik fel, hogy egy koérintőnyalábból származik a szimplektikus sokaság. Pl. Liouville-tétel érvényes általában bármilyen szimplektikus sokaságra és a tetszőleges rajta értelmezett Hamilton-fg-re.
Ott van a baj, hogy a szimplektikus forma nem a koérintőnyalábon éli az életét, hanem az eredeti M 2n dim. sokaságon (ami nem feltétlen egy koérintőnyaláb). Tehát azt kell tudnod olyan (p,q) koordinátákkal becsíkozni, hogy a szimp. forma (lokálisan legalább) kanonikus alakban írható legyen. Amit te írsz az az, amikor az konfigurációs térből indulunk ki ("a q koordináták tere"), és ehhez megkonstruáljuk a szimplektikus sokaságot ("fázisteret"), ill. a hozzátartozó formát. Általában azonban nem ilyen konstrukcióval áll elő a szimplektikus sokaság, sőt nem is állítható elő így, csak lokálisan. De itt van az egzakt állítás meg a bizonyítása is, hátha az segít a megértésben: http://planetmath.org/encyclopedia/DarbouxsTheoremSymplecticGeometry.html
, nagyon sok minden múlik ezen a feltételen (többek között, az általad említett kanonikus koordinátázás előállíthatósága)
Tudnál erről kicsit többet mondani? Szerintem akárhogy koordinátázzuk M-et, a dxi-k minden pont feletti koérintőtéren bázist alkotnak, tehát a koérintővektorok ∑i=1n pidxi alakban előállnak, tehát az koérintőnyaláb lokálisan koordinátázható az (x1,...xn, p1,...pn) koordinátákkal. A ∑i=1n dxi ∧ dpi 2-forma pedig mindig anisszimmetrikus és nemdegenrált. Miért kell ide a zártság?
Tényleg nem mondtam, hogy zárt, ráadásul nem is 2-formát, hanem csak bilineáris formát mondtam, ami ennek a 2-formának csak egyetlen pont feletti értéke, és az e pont feletti érintőtéren (pontosabban a négyzetén) hat, és persze a zártság fogalma nem is értelmezhető rá.
Köszönöm a kiegészítést, a pontos definícióhoz ez tényleg hozzátartozik.
félre:
Lehet, hogy buzzwordösen hangzott amit írtam, én viszont attól kapok frászt, amikor pusztán azért beszél valaki homályosan, nehogy le kelljen írnia egy olyan szót, amivel ugyan egyértelműen lehetne fogalmazni, de esetleg az olvasó nem ismeri. Aztán kínjában mindenféle jobb/rosszabb hasonlatokat mond, amiből a végén aztán totálisan semmit sem lehet érteni(viszont az illető legalább akkora ámulatot tud kelteni így a hallgatóságban, mintha buzzwordoket halmozna egymásra, ráadásul még utána sem lehet nézni, hogy valójában miről is beszélt). Ha valakit zavarnak az ismeretlen szavak, az vagy szűrje ki a szövegből őket, vagy nézzen utána, mit jelentenek. Aki meg ismeri őket, az eleve pontos információhoz jut.
Buzzword ide, buzzword oda, azért szerintem az lényeges dolog, hogy a fázistér (koérintőnyaláb) eleve egyértelműen magában hordozza a kanonikus szimplektikus formáját, és nem mi aggatjuk rá. Ennyit szerintem akkor is ki lehet hámozni a szövegből, ha valaki sem a koérintőnyaláb, sam annak a projekciója, sem az 1-forma, sem a külső deriválás, sem a a pullback fogalmát nem ismeri (tényleg mennyi fogalom!). Viszont ha valakit érdekel, annak így le van írva rendesen, és csak a szavak jelentésének az ismerete kell hozzá, hogy pontosan megtudja, miről van szó. Amúgy pedig a zártság is csak egy buzzword, ráadásul mégegy buzzword (a 2-forma) kell hozzá, hogy leírhassam (meg persze a differenciálható sokaságé és az összes kellékeié, bár ezek ahhoz is kellenek, amiket én írtam)
Ja, és ez egy fizikus topik, nem mesedélután (ezért volt jogos a Te pontosításod is).
Sok buzzword ellenére pontatlanra sikerült a definíció: a szimplektikus formánál azt is kikötjük, hogy zárt legyen. Ez nem szőrszállhasogatás a részemről, nagyon sok minden múlik ezen a feltételen (többek között, az általad említett kanonikus koordinátázás előállíthatósága). Egyébként egyszerűbben is el lehet mondani a fizikusi motivációt a szimplektikus geometriára: a fázistér koordinátázásától független alakban tudjuk írni a Hamilton-egyenleteket. Ehhez kell a szimplektikus forma, ami majdnem úgy viselkedik mint egy skalárszorzat, csak nem szimmetrikus, hanem antiszimmetrikus. Emiatt a hasonlóság miatt a Riemann-geometria bizonyos fogalmai átültethetők szimplektikus geometriára. A szimplektikus transzformáció pl. megfeleltethető a Riemann-geometria skalárszorzatot megtartó trafójának, ami Euklideszi térben nem más, mint az egybevágósági transzformáció (eltolás és forgatás tetszőleges kombinációja).
Szia Simply Red!
Köszönöm szépen! Sajnos ezeket a matematikai fogalmakat nem ismerem(generátorfüggvényen kívűl). Ez nagyon kemény elméleti matek lehet.
Nem értettem a szimplektikus transzformáció jelentését. Szóval a vetület állandóságáról van szó.
Arról beszéltem, de ez nem a definíciója a szimplektikus transzformációnak, hanem egy rá vonatkozó tétel. A szimplektikus transzformáció definícióját szemérmességből nem írtam le ebbe a topikba, ahol az ilyesmi leplezetlen epszilonozásnak számít. Csak utaltam rá, hogy a Hamilton-féle mozgásegyenletek szimplektikus folyamot írnak le. De azt hiszem, rosszul tettem. Nos, hát akkor most kertelés nélkül megmondom, hogy a szimplektikus transzformáció a szimplektikus formát megtartó transzformáció. Szimplektikus formának pedig az antiszimmetrikus, nemelfajuló bilineáris formákat nevezzük. A Hamilton-egyenletekhez ennek a következő a köze. A fázistér egy koérintőnyaláb. Minden koérintőnyalábon természetes módon adva van az ú.n. kanonikus szimplektikus forma, ami az ú.n. tautologikus 1-forma külső deriváltja. A tautologikus 1-forma a koérintővektoroknak (mint lineáris formáknak) a nyaláb projekciójával való pullbackje a nyaláb érintőterére. Nem kell nagyon megijedni ettől, koordinátásan a kanonikus szimplektikus forma egyszerű:
(feltéve, hogy a koordinátázás kanonikus, vagyis pi koordináták a {dxi} bázisra vonatkoznak.)
Ha van egy szimplektikus forma a fázistéren, akkor a fázistéren adott vektormezők a fázistéren adott függvényekkel azonosíthatók. Az X vektormező annak a H függvénynek felel meg, amellyel
ω(X, b) = dH(b).
Az n tömegpontból álló mechanikai rendszer időbeli viselkedését a 6n-dimenziós fázistér egy szimplektikus folyama írja le. Ennek a szimplektikus folyamnak van egy sebességmezeje. Legyen ez X. Az ennek a sebbeségmezőnek a fenti összefüggés alapján megfeleltetett H függvényt a folyam generátorfüggvényének, a fizikusok pedig Hamilton-függvénynek nevezik.
Azt már régóta tudjuk, hogy a fázistérfogat nem változik, ez a Liouville-tétel. Ezt is felfoghatjuk egyfajta bizonytalanság-megmaradásnak, de a nonsqueezing theorem ennél szigorúbb dolog, mert nemcsak az illető fázistartomány térfogatának, hanem a szimplektikus síkokra vonatkozó vetületei területeinek is meg kell maradniuk. (Ez ekvivalens azzal az állításal, hogy egy gömböt nem lehet szimplektikus transzformációval egy nála kisebb sugarú szimplektikus hengerbe belegyömöszölni.) Ráadásul ez így sokkal jobban hasonlít a kvantummechanika bizonytalansági relációjára, mint a Liouville-tétel.
A gömb azzal a transzforációval a hengeren csak úgy tud átjutni,ha lecsökkene valamennyivel a térfogata
Gondolom itt az "azzal a transzormációval" azt jelenti, hogy szimplektikus transzformációval. A szimplektikus transzformációk egyúttal térfogattartók is, tehát ennek így nincs értelme.
Akkor ez azt jelenti,hogy konzervatív rendszerben a fázistérfogat semmilyen körülmények között sem változhat meg? A gömb azzal a transzforációval a hengeren csak úgy tud átjutni,ha lecsökkene valamennyivel a térfogata. A fázistérfogat állandósága jelenti azt,hogy ez egyfajta bizonytalanság,amit nem lehet leküzdeni?
Úgy látszik, nem fogalmaztam elég érthetően. A klasszikus esetben nem egy univerzális alsó határ van a bizonytalanságra (mint a kvantumos esetben), hanem egy rendszernak a kezdetben meglévő (akármekkora nagyságú) bizonytalansága nem csökkenhet később soha sem ez alá az érték alá, amennyiben a rendszer eleget tesz a Hamilton-féle mozgásegyenleteknek. Mint említettem ez a "bizonytalanság" geometriailag annak a fázistértartománynak a megfelelő szimplektikus (pl. xi-pi) síkra vonatkozó vetületének a területe, amely tartományban ismereteink szerint a rendszer fázispontja kezdetben van. Ez a terület valóban hatás dimenziójú, de persze más, mint a fázistrajektóriákhoz rendelt hatás, de halvány köze azért van hozzá. Ez utóbbi pl. 1-dimenziós mozgás zárt trajektóriái (pl. harmonikus rezgőmozgás) esetén az x-p síkon az illető zárt trajektória által határolt terület.
Azt lehet tudni,hogy ebben a klasszikus esetben mekkora a határozatlanságnak a mértéke? Abban gondolom nem szerepel a hvonás,hanem valami más hatásmennyiség.
Dirac készített egy mágneses monopólusos modellt,amelyből szépen kijön,hogy a töltéseknek kvantáltaknak kell lenniük. És ennek nem az a feltétele,hogy nincs mágneses monopólus,hanem az,hogy az elektromos és mágneses monopólusok aránya mindig ugyanakkora,mert akkor ki lehet transzformálni a mágneses monopólust a Maxwell egyenletekből.
A Standard Modell tartalmazza, de NEM magyarázza a töltések kvantáltságát. Megoldást jelenthet a GUT, valamint a mágneses monopólusok létezésének feltételezése......
Ad-e valami magyarázatot a Standard Model töltés kvantáltságára?
Eddigi olvasmányaimban még nem találkoztam ilyen anyaggal. A QFT-ben az elemi töltés a QED csatolási állandójaként szerepel, a QCD-ben ennek 1/3 és 2/3 szorosa jelenik meg. A kvantáltságon azt értem, hogy mi tiltja meg, hogy valamely még eddig ismeretlen elméletben a szorzótényező nem lehet majd valamely tetszőleges valós szám (amellett, hogy a mérések szerint ilyet még nem találtak)? Egyáltalán eldöntött ez a kérdés a tudomány mai állása szerint?
Persze megint rosszul fogalmaztam. Az impulzusmomentum két egymásra merőleges komponensét kellett volna írnom két egymásra merőleges impulzusmomentum helyett.
Esetleg azt, hogy egymáshoz kanonikusan konyjugált mennyiségeket mondtam nemkommutáló mennyiségek helyett. Merhogy például két egymra merőleges irányú impulzusmomentum is ilyen.
Ez azt jelenti, hogy csak az egymáshoz kanonikusan konjugált koordináta és impulzus együttes bizonytalansága nem csökkenthető, de amúgy a többi mennyiségpár együttes bizonytalansága tetszőleges mértékben csökkenthető. Akárcsak a kvantummechanikában.
Ezt hogy érted pontosan? Mármint a kvantummechanikában?
