Köszönöm szépen! Ennek a makroszkopikus határozatlanságnak mekkora lehet a mértéke?
"Ez már matematika, a fizikusi intuíció ehhez kevés. Gromovnak egy kicsit "epszilonozni" kellett hozzá, hogy kihozza. Viszont egyetlen részecskegyorsítót sem kellett hozzá építenie."
Szerintem is nagyon érdekes. Sőt, igazából még érdekesebb, mint ahogy leírtam. Ugyanis nem mindegy, hogy a henger milyen helyzetben van a fázsitérben. Ha úgy, hogy az alapja az i-edik koordniáta- és a hozzá tartozó i-edik impulzustengely által kifeszített síkon van, akkor erre e hengerre igaz az állítás. Ha viszont mondjuk az i-edik és j-edik koordinátatengely, vagy az i-edik és j-edik impulzustengyel, vagy az i-edik koordinátatangely és az i-vel nem egyenlő j-edik impulzustengely síkján áll a henger, akkor símán bele lehet gyömöszölni akármekkora gömböt. Ez azt jelenti, hogy csak az egymáshoz kanonikusan konjugált koordináta és impulzus együttes bizonytalansága nem csökkenthető, de amúgy a többi mennyiségpár együttes bizonytalansága tetszőleges mértékben csökkenthető. Akárcsak a kvantummechanikában. Ez elvileg magából a hamiltoni mozgásegyenletekből is levezethető lenne, de nem sok esélyt adok rá, hogy ez menne bárkinek is a szimplektikus geometria alapos ismerete nélkül. Ez már matematika, a fizikusi intuíció ehhez kevés. Gromovnak egy kicsit "epszilonozni" kellett hozzá, hogy kihozza. Viszont egyetlen részecskegyorsítót sem kellett hozzá építenie.
"(Persze Gromov tevéje egy gömb, a tű pedig egy henger. A tétel azt mondja, hogy R sugarú hengerbe csak R-né kisebb sugarú gömböt lehet szimplektikus transzformációval belegyömöszölni.)"
Nem vagyok biztos benne,hogy a kétféle Liouville-tétel ugyanazt jelenti. Az statisztikus fizikában azt jelenti,hogy konzervatív rendszer esetén a fázistérfogat nagysága az időfejlődés során nem változhat,csak az alakja módosulhat. Vagyis az összenyomhatatlan folyadékok hidrodinmaikája érvényesül a fázistérben.
Marx-Nagy-Károlyházy:Statisztikus mechanika című könyvéét ajánlom.
Köszi az infót, a Liouville tételt megtaláltam a Landau-Lifsic I.-ben, valóban a fázistérfogat állandóságáról van szó. Az érdekes viszont az, hogy Liouville tételt a matematikában is találtam, mégpedig a komplex függvénytanban. És ez pedig úgy szól, hogy amennyiben az f(z) függvény a teljes komplex síkon analitikus és korlátos, akkor az f konstans. Nagyon hasonló a két állítás, biztos közös a gyökerük, de én ezt egyenlőre nem látom.
A válasz mindkettőtöknek szólt. Elnézést, ha érthetetlen voltam, de amikor ezt írtam, meg voltam róla győződve, hogy aki tanult Hamilton-féle mechanikát, annak tanulnia kellett a Liouville-tételt is. Mivel azt írtad, hogy nem érted, meg is akartam neked keresni a Budó Mechanilában, de nem találom benne, úgyhogy valószínűleg tévedtem. Esetleg statisztikus mechanikából jöhetett még elő a tétel. A Hamilton-féle mozgásegyenletek, és fázistér fogalma azért gondolom nem ismeretlen számodra sem. Ezekről van szó. Van egy jó könyv a témában magyarul is, V.I. Arnold A mechanika matematikai módszerei. Az nagyon szépen vezeti át az olvasót a newtoni leírástól a Lagrange-félén keresztül a hamiltoniig, és abban persze benne van a Liouville-tétel is. Egyébként Hamilton is és Liouville is a 19. században élt, tehát a Liouville-tétel klasszikusabb, mint a Heisenberg-féle határozatlansági relációk. Persze a nonsqueezing theorem már nem.
Tegyük fel, hogy egy hamiltoni rendszer állapotáról annyit tudunk, hogy az állapota a fázistérben egy R sugarú gömbben van. Ekkor ennek a gömbnek az (xi, pi) síkra való vetületének a területe πR2. Ezt interpretálhatjuk az i-edik koordináta és a hozzá kanonikusan konjugált i-edik impulzus együttes bizonytalanságaként. Az elég közismert dolog, hogy ez a fázistérbeli gömb a térfogatát a rendszer bármilyen hamiltoni fejlődése során megtartja (ez Liouville tétele). De ettől még előfordulhatna, hogy az (xi, pi) síkra vonatkozó vetületének a területe akármilyen kicsire összezsugorodhat (más irányban persze ekkor nőnie kell). A meglepő az, hogy nem így van! Akárhogy is torzul el a gömb (betartva a hamiltoni mechanika szabályait), az egymáshoz konjugált koordináta-impulzus síkokon ennek az eltorzult alakzatnak a vetülete végig megtartja a területét! Vagyis az egymáshoz kanonikusan konjugált mennyiségek együttes bizonytalansága nem csökken a rendszer időbeli fejlődése során. Ez nem túl régi felismerés, Mihail Gromov 1985-ben bizonyította be, hogy így van (nonsqueezing theorem). Népszerűbb nevén ez a szimplektikus teve tétele (azért szimplektikus, mert az a bizonyos fázistérbeli hamiltoni fejlődés valójában egy szimplektikus folyam, amelynek a generátorfüggvénye a Hamilton-függvény). Szóval ez a szegény teve bizony nem tud átmenni a tű fokán. (Persze Gromov tevéje egy gömb, a tű pedig egy henger. A tétel azt mondja, hogy R sugarú hengerbe csak R-né kisebb sugarú gömböt lehet szimplektikus transzformációval belegyömöszölni.)
Pl. a korlátozott háromtestprobléma (amelyben a harmadik test tömegét elhanyagolhatónak tekintjük) azon esetére gondoltam, amikor az elhanyagolható tömegű test mozgása kaotikus:
A korlátozott háromtestproblémában az elhanyagolható tömegű test helyzete és sebessége is változik a fázistérben. Az a görbe, amelyen a fázispont mozog, az ún. fázistrajektória. Ennek vizsgálatára a Poincaré-féle metszésfelületi módszert szokták alkalmazni, amelynek lényege az, hogy a fázistrajektória útjába egy síkot helyezünk el a fázistérben, és a fázistrajektória vizsgálata helyett a metszéspontok elhelyezkedéséből következtetünk a rendszer viselkedésére. Ha a metszéspontok rendezetlenül, a metsző sík tartományát teljesen kitöltve helyezkednek el, az elhanyagolható tömegű test mozgása kaotikus. Ez akkor következik be, ha mozgási energiája nagy, mert akkor egyszerre több rezonancia hatása alá kerül. Ilyenkor mozgása szabálytalanná, előre megjósolhatatlanná válik, pályája (pályaelemei) nem számítható ki előre......
Gondoltad volna például, hogy nemcsak a spinnek, hanem még a határozatlansági relációnak is megvan a klasszikus megfelelője?
Arra gondolsz netán, hogy a Gauss hibafüggvény Fourier transzformáltja is Gauss hibafüggvény, és a megfelelő kvadratikus hibaátlagok fordítottan arányosak (szorzatuk =1)? Ha ebben u.i. az Einsteini p=hvonás*k, ill. E=hvonás*omega helyettesítéseket elvégezzük, akkor a deltaE*deltat=a*hvonás ill. deltap*deltax =a*hvonás jön ki, ahol 'a' minimális értéke 1/2.
Engem igazából a dolgok belső logikája érdekel, lényegében függetlenül attól, hogykonkrétan miről van szó. Ebből közvetlenül adódik, hogy melyik a számomra hasznosabb nyelv. Most például épp egy olyan könyvet olvasgatok, ami szándéka szerint világosabbá teszi a klasszikus és a kvantummechanika kapcsolatát (M. A de Gosson: The principles of Newtonian an Quamntum Mechanics). De nem szóvirágokkal, hanem konkrét matematikai tételekkel (egyébként Feynmann-féle path intgral is szerepel benne). Gondoltad volna például, hogy nemcsak a spinnek, hanem még a határozatlansági relációnak is megvan a klasszikus megfelelője?
Fizikusoknak biztos jó. Nekem azért nem, mert nem szerepel benne sem a "bundle", sem a "connection" szó, pedig a mérceelméletek matematikai modelljének ezek az alapfogalmai
Most olvasgatom egy neves fizikus, A.Zee: QFT in a nutshell c. könyvét, melyben az alábbi mondatot találtam (nem kínlódok a lefordításával):
Indeed, there is a one-to-one translation between the physicist’s language of gauge theory and the mathematician’s language of fiber bundles.
Egyből eszembe jutott a régebbi, 763-as üzenetedből fennt idézett mondat, valamint az is derengeni kezdett, hogy évekkel ezelőtt olvastam egy remek anyagot Sean.M.Carrol tól (Lecture Notes on General Relativity, az internetről letölthető). Elővettem, kikerestem a harmadik fejezetét, ahol futólag ír ilyeneket:
We now have the means to compare the formalism of connections and curvature in Riemannian geometry to that of gauge theories in particle physics.In ordinary electromagnetism the connection is just the conventional vector potential.Our (értsd matematikusok) conventions are so drastically different from those on the particle physics literature that I wont even try to get them straight.
Ez az utóbbi a lényeg a Te fentebb idézett mondatodat illetőleg: ebben a témában a matematikusok és fizikusok teljesen külön nyelven beszélnek, ezért nem találtad a keresett szavakat a Bailin könyvben.
Pedig hát ezek szerint: connection = gauge field, fiber bundle = a base manifold (for us, spacetime) internal, belső vektortere, a vizsgált skalár vagy spinor tér maga, amire a Lagrange függvényt építjük, és amire a mértékszimmetriát elő akarjuk írni, stb. Jó lenne összeállítani egy szótárt, de ehhez mindkét területet alaposan ismerni kellene.
Így sincs kedved a könyv tanulmányozására?
Még annyit szeretnék mondani,hogy a Boltzman-statisztika és a Bose-statisztika között van még egy lényeges különbség. Ha van három cella,amibe három részecskét lehet rakni,akkor a különböző elrendezésekhez tartozó mikroállapotok száma
Itt a részecskék azonossága miatt a részecskék felcserélése nem ad új mikroállapotot.
Bose statisztikában a legvalószínűbb eloszláshoz az egyenetlen (2,1,0) elrendeződés tartozik,vagyis az egyik cellában egyel több részecske van,a másik pedig üres. Arra gondolok,hogy ez összhangban van a vákuumfluktuációkkal. Ugyanis a részecskék megkülönböztethetetlensége miatt az egyenetlen eloszlás sokkal valószínűbb,mint a teljesen egyenletes eloszlás. Ennek köszönhető,hogy sztatikus térben felléphet a spontán emisszió,mert ezek a pici fluktuációk indukálják az emissziót.
"Nem kellene kicsit utánanézned, hogy mit jelentenek a "potenciál", energia,munka, stb. fogalmak? ;)"
Nem emlékszem,hogy pontosan hol voltak konvekciók.Mondjuk az optikában sok van,arra még emlékszem,mert az elektrodinamikában a töltések előjele is konvenció.
"Házifeladat: mikor nem beszélhetünk potenciálról egy erőtérben? "
Ha örvényes az erőtér akkor nincs potenciál.Vagyis konzervatív az erőtér,vagyis a kezdeti és végpont potenciálja határozza meg a munkavégzést,a pálya hosszától nem függ.
"Akkor az energia nullapontját a mechanika alapjainál eldöntötték?"
Nem kellene kicsit utánanézned, hogy mit jelentenek a "potenciál", energia,munka, stb. fogalmak? ;) Házifeladat: mikor nem beszélhetünk potenciálról egy erőtérben?
Köszi,most már átérzem!A klasszikus mechanikában csak az a lényeg,hogy az energia hely szerinti változása visszaadja a dinamikát meghatározó erőket.Akkor az energia nullapontját a mechanika alapjainál eldöntötték?
Relatban az a jó,hogy nem lehet az energiát tetszőlegesen tológatni.Mert az egyetlen konstans a nyugalmi energia.
Gondolom a potenciális energia nulla pontjának a lerögzítése kapcsolatban lehet a mozgási energia lerögzítésével.Mert ezeknek a különbsége nem változhat.
Igy van. Minden fizikailag ertelmezheto eredmeny fuggetlen attol, hogy minek valasztod meg a vegtelenben azt a potencialis energiat. Mivel a szokasos 0 valasztas mellett nem bukkan fol sehol kulon ez az onkenyes allando, azaz ez a legkenyelmesebb valasztas, ezert minek kellene bajlodni vele?
Hasonloan a mertekterelmeletekben is azt a merteket valasztjuk, amely az adott problemahoz a legkenyelmesebb, vagyis a legkevesbe bonyolitja a koztes szamolasokat.
