Nem teljesen értem, mire gondolsz. A diffegyenletek mind ilyenek, nem? Annak alapján amit leírtam, fel lehet írni a differenciálegyenleteket.
(Elsősorban a szemléletességre törekestem, nem a precizitásra.)
"tanácsosabb egy közös koordináta rendszerben vizsgálni a dolgokat, ahol is nem történik idődilatáció"
Ezt sem értem. Bármilyen inerciarendszerben írod fel a dolgokat, ezek a keringő órák mindenképpen eltérően fognak járni mint a rendszeridő. Az persze lehetséges, hogy olyan rendszert választasz (pl. a kör közepéhez rögzítettet) amiben a két sebesség nagysága pont egyforma (csak az irány különbözik) így a két keringő óra egyformán jár.
Eredetileg a feladat annak szemléltetésére lett kitalálva, hogy egyik keringő megfigyelő milyennek látja a másik óráját - az meg egyetlen inerciarendszerben nem felírható.
Vedd észre a következőt: mikor a két köröző megfigyelő találkozik, akkor közvetlen módon meg tudják állapítani, mennyit mutat egymás órája. Ez egy olyan dolog, amihez nem kell ravasz mérési utasítás, nem kell megállapodni hogy hogyan is kell ezt csinálni stb.
Mikor éppen távol vannak, ez nem olyan egyértelmű. Kell valami megállapodás, hogy hogyan is kell eldönteni, mennyit mutat a másik órája. Einstein erre a sok megfigyelős dolgot találta ki, telerakva a teret szinkronozott órás megfigyelőkkel. Nevezzük őket az inerciarendszerhez tartozó társaságnak.
Ez azonban egy érdekes dolog. Ez a társaság egyetlen inerciarendszerhez tartozik, egy másikban esetleg nincs szinkronban az órájuk.
Ha egy megfigyelő gyorsul, akkor lehetetlen olyan társaságot rendelni hozzá, akik vele együtt gyorsulnak, mert nem lehet szinkronozni az óráikat. Ha egszer valahogy megteszed, nem marad úgy, szétcsúsznak.
Vagyis nem támaszkodhat a gyorsuló megfigyelő ilyen társaságra, az inerciarendszerben bevált mérési eljárásra.
Valamit ki kell találnia helyette. PL. azt, hogy mindig azokra arra a társaságra hallgat, amelyik rendszerében éppen ő maga áll. De akkor ahogy gyorsul, mindig egy másik társaság jelentéseit kapja.
A gyorsuló A megfigyelő rendszerét inerciarendszerek soroztatával közelítettem a példában. Bármely ilyen inerciarendszerben igaz, hogy a B órája lessabban jár, hiszen A tetszőlegesen jó közelítéssel áll ebben az inerciarendszerben, míg B mozog. Vagyis a specrel szerint B órája jár lassabban.
Hogy lehet, hogy mégis A számára néha B órája gyorsabban jár?!
A kulcs az, hogy nem maradunk meg a leírással ugyanabba az inerciarendszerben, mert A gyorsul, és előbb-utóbb már ez a rendszer nem jól közelíti az ő saját rendszerét - mozog benne.
Ezért időnként új inerciarendszerre térünk át, ami jobban hasonlít A rendszeréhez, amiben éppen jobb közelítéssel áll A. Na most, a régi rendszerből az újba a kiindulási adatokat Lorentz trafóval konvertáljuk át. Az új rendszerben az új idő koordináta minden további nélkül lehet nagyobb érték, mint a korábbi volt.
Vagis az inerciarendszeren belül a B lassabban jár, de a váltásnál meg kicsit ugrik, és ez az ugrás a térbeli koordinátáktól függően előre is lehet. Így összességében minden további nélkül lehet nagyobb az előre ugrás mint a lemaradás az inerciarendszeren belül. Vagyis A azt is tapasztalhatja, hogy B órája gyorsabb.
(megjegyzem hogy az ugrás csak azért van, mert véges darabokkal közelítünk valami folyamatosat, differenciálszámítással természetesen folyamatos az egész)
"Integrálni még csak tudok, és egyrészt érteni vélem azokat, amikről irsz, de talán mégiscsak hagyjuk."
Nem kell elvégezni az integrálást ahhoz hogy meg lehessen érteni. (Ha kellene, számítógéppel csinálnám...)
A lényeget próbáltam meg leírni. Kiemelem belőle a leglényegesebbet: - a gyorsuló megfigyelőhöz kötött rendszer nem inerciális - ezért nem érvényesek rá az inerciarendszerekben érvényes szabályok, pl. hogy minden más óra csak lassabban járhat - mutattam egy módszert, amivel a specrel formalizmusán belül, egyszerű (középisikolás szintű) matematikai módszerekkel, inerciarendszerek sorozatával lehet közelíteni azt, hogy mit tapasztal az egy ilyen körpályán mozgó megfigyelő - hol lassabban, hol gyorsabban jár hozá képest a másik keringő óra - a szimmetria miatt a találkozásoknál pont egyformát mutatnak az órák - a másik keringő megfigyelő is pont ugyanezt tapasztalja
Ha nem látod át annyira, hogy beugorjon a "heuréka, megértettem" élmény, akkor annak valószínű oka, hogy az egyszerűbb eseteket sem érted még eléggé, csak szavakra, hasonlatokra támaszkodsz a valódi megértés helyett.
Persze, hogy konstans. A vákuumbeli fénysebesség konstans, ha nem lenne az, akkor rengeteg egyenletet el kéne vetnünk. Közegben viszont előfordulhat, hogy valamely részecske sebessége meghaladja a fény adott KÖZEGBELI sebességét, ez okozza a Cserenkov-sugárzásnak nevezett jelenséget....
Ismét idézem a kérdéses szövegedet, hogy ne sikkadjon el a téma tárgya:
"Nem "egy fickó" hanem az SI nevű világszabvány rögzítette Feynmann és társainak a jóváhagyásával, hogy kizárólag annak a fénynek a sebessége c=299 792 458 m/s amelyiket a forrásához nyugvó detektorral mértek."
Az általad linkelt wikipedia cikkben egyetlen szó sem esik arról, hogy a detektornak nyugvónak kell lennie a fényforráshoz viszonyítva. Sőt! Az SI szabványban közölt méter deffiníciója, mint hosszúság, éppen arra mutat rá, hogy a fény sebessége konstans, és semmitől sem függ, beleértve az általad idézett detektor mozgási állapotát.
Oké, oké. Elismerem, hogy talán kevés vagyok a dologhoz. Integrálni még csak tudok, és egyrészt érteni vélem azokat, amikről irsz, de talán mégiscsak hagyjuk.
Én csak arról akartam némi szóbeli felvilágosítást, hogy nagyjából miként változik az egyik órája a másikhoz képest, miközben körbemennek, és visszatérnek egymáshoz.
Ezek szerint (legalábbis abból, amit írtál), amíg az egyik óra szépen ketyeg, a másik hozzá képest először lelassul, majd a pályája valamelyik részén a lemaradást visszagyorsulva behozza. (Ezek szerint a táv egy részén nemhogy nem idődilattáció van, hanem éppenséggel a relatíve mozgó óra gyorsabban is jár? Merthogy ugyebár ez metamtikai szükségszerűség lenne, hogy megmagyarázzuk a lemaradás behozását..... de ezt kérdezem, és nem mondom.)
Remélem érted, hogy igazából mi az ami nekem ebben szöget üt...... Nos én csak arra szeretnék egy hozzáértő személytől valami könnyen emészthető megnyugtatást, hogy legalábbis kvalitatíve miként lássak magam előtt egy ilyen esetet.
"Nem "egy fickó" hanem az SI nevű világszabvány rögzítette Feynmann és társainak a jóváhagyásával, hogy kizárólag annak a fénynek a sebessége c=299 792 458 m/s amelyiket a forrásához nyugvó detektorral mértek."
Kérlek erről linkelje be itt egy internetes utalást, vagy cikket.
Én úgy tudom, hogy elfogadott tudományosan, hogy a fény sebessége nem függ a kibocsájtó test sebességétől. Azaz, hogy relatíve a kibocsájtó testhez képest a detektor nyugodtan mozoghat, akkor is ugyanannyi lesz a fény sebessége.
Éppen erről ad matematikai összefüggést a Lorenz trafó.
Nem "egy fickó" hanem az SI nevű világszabvány rögzítette Feynmann és társainak a jóváhagyásával, hogy kizárólag annak a fénynek a sebessége c=299 792 458 m/s amelyiket a forrásához nyugvó detektorral mértek. Ezen fanyaloghatsz, de megváltoztatni nem tudod., Mint ahogy azt sem, hogy a definícióval indirekt módon kizárták annak a lehetőségét, hogy a forráshoz relatívan mozgó detektorral ugyanezen c=299 792 458 m/s sebességet lehessen mérni.
Az lehetséges, hogy akad fizikus akinek ez, hozzád hasonlóan nem tetszik, de ő, veled ellentétben van annyira dörzsölt, hogy nem vitatja egy világszabványban rögzített fizikai állandó definícióját.
"A specrel, jó.. használható.. mert adott esetben jó eredményt lehet vele számolni."
De tényleg így van.. Van amit ki lehet vele számolni.
Igaz, olyan is van amit nem. Ilyen a relatív hullámszám. Ennek kísérleti bizonyítását a rel. Doppler a lényegéből adódóan nem egyezik a specrellel számítottal.
Elvégezni nem akarom ezt az integrálást, egyrészt ronda munka másrészt nem lennénk sokkal előbbre.
Annyit azért érdemes megbecsülni, kb. hogy néz ki egy ilyen t_B = f (t_A) függvény.
Először is nyilván pi szögre periodikus, félkörönként találkoznak.
A találkozási pont körül a legnagyobb a v_B sebesség, és ilyenkor a legkisebb az a t_B változás, ami a koordináta transzformációk során fellép (minél messzebb van B az x tengelytől annál nagyobb a delta_x egy delta_fi elfordulás során). Emiatt B órája A szemszögéből a találkozási pontok környékén kjár a leglassabban, a gorbének itt van a minimuma.
Mikor a két átellenes oldalon járnak, v_B = 0, emiatt delta_t-n belül ugyanolyan gyorsan jár mint a saját óra, viszont maximális a transzformációknál fellépő x heylzet változás és egyben a B idő megváltozása a trafók során. Itt fog emiatt B leggyorsabban járni, itt hozza be amit lemarad mikor közel van A-hoz.
Az egyszerű módszer az, hogy választod inerciarendszernek azt, amelyben a körpálya középpontja nyugalomban van.
Ez esetben a sajátidő egy körre így néz ki:
t_A = int_path sqrt(dt^2 - ds^2/c^2)
ahol int_path a körvonalra vett integrált akarja jelenteni
mivel ds^2= vdt
a képlet triviálisan azonos lesz azzal ami egyenes vonalú egyenletes mozgásnál is lenne.
T_B pont ugyanez, nyilván az egy körre vett sajátidő is ugyanannyi. Mivel a találkozásnál mutatott idő skalár, tök mindegy milyen rendszerben írod le, ugyanannyinak kell lennie (vagy nem ér semmit a modell).
-------
Ok, de te gondolom nem csak erre vagy kíváncsi, hanem arra is, mi történik mondjuk A szemszögéből vizsgálva a dolgot. (Egyet persze tudunk előre, a találkánál egyformát mutatnak az órák, de mi van közben?!)
Először is szembe kell nézni azzal a kellemetlenséggel, hogy A nem inerciálisan mozog. Nem lehet olyan inerciarendszert választani, ami "A rendszere" is egyben.
Azt lehet csinálni, hogy egy delta_t időre választunk egy inerciarendszert, amelyben ezen delta_t idő alatt az A pont helyzete csak tetszőlegesen kis mértékben változik meg a delta_t idő alatt. Ebben leírjuk a dolgokat, majd választunk egy másik kicsit különböző inerciarendszert a következ delta_t időre és így tovább, amíg körbe nem ér.
Így mondhatjuk, hogy A számára a sajátideje ezen delta_t-k összege, B térbeli helyzete az ami az éppen aktuális új inerciarendszerben érvényes. B sajátideje pedig egy érdekes összegzés.
Az első inerciarendszerben B-nek van valami sebessége, ebből lesz valami sajátideje. Ezt - mikor áttérünk a következő inerciarendszerbe, Lorentz-transzformálni kell az újba. Ez egy kicsit más lesz, mert az új rendszerben a térbeli kordinátái is mások, mivel az új rendszer egy kis delte_fi szöggel máshogy áll mint a korábbi. Vagyis B helyzete nem csak azért változik mert mozog, hanem azért is, mert A sebességvektora fordul és emiatt mindig új inerciarendszert kell választani, az újban pedig más a tér koordináta.
Mivel az újabb rendszerben az idő koordináta függ a térbelitől is, ezért A és B kölcsönös helyzete keményen benne lesz a transzformált idő koordinátában.
Így egy jó bonyolult integrált kapunk, amit 0-tól tetszőleges fi szögig elvégezve kapunk egy függvényt, ami azt mondja meg, A éppen mennyinek "látná" B óra állását a pálya adott pontján. (azért tettem idézőjelbe, mert a fizikai látásban benne lenne a fény futási ideje B-A között, ebben meg nem)
Ha ez így teljesen érthetetlen, akkor nem ezzel kellene kezdeni, hanem valami egyszerűbbel.
Ezek teljesen korrektül megvoltak nekem, két egymástól távolodó űrhajó esetére. Értettem és véleményem szerint átláttam a Lorenz trafó keretein belül. A koord rendszereket a két űrhajóhoz rögzítettem.
Kezdődhetne úgy a példa, hogy X=0 és X'=0 helyen találkoznak, és stoppert indítanak (t=0 t'=0) Utána simán körpályán körbehajózzák a teret, és visszatérnek egymáshoz.
Ebben kéne értelmezni, hogyan alakul az idődilattáció.
Ha ezt egy hsz.-ban le tudod írni konkrét számokkal, akkor nincs is több kérdésem, mivel mindent látni fogok.
Nem tudom, mennyire vagy képben a specrelben. Induljunk neki, ha valami nem világos, megállhatunk megnézni.
A és B mozognak egymáshoz képest. A rendszerében B órája lassabban jár. B rendszerében A órája lassabban jár. Van ezzel bármiféle problémád, vagy ez tiszta és világos?
Sík téridőben (ahol tömegek nincsenek jelen) a feladatokat alkalmas rendszer (inerciarendszer) választásával meg lehet oldani a specrel keretén belül. Körpályán mozgó órákét is pl.
Ha viszont nem inerciarendszert választasz leíró rendszernek (önként szúrod magad tökön pedig nem volt kötelező) akkor kénytelen leszel egy sokkal bonyolultabb formalizmust használni, és ha mindent jól csinálsz, megkapod ugyanazt az eredményt.
Ez nem csak a relativitáselméletben van így. Sima newtoni mechanikában is elbonyolíthatod az életedet, ha egy légkalapácshoz rögzített rendszerben próbálod leírni egy autó mozgását...
Én azt nem értem, hogy az Idődilattáció azt jelenti, hogy az egyik órája folyamatosan elmarad minuszba a másikhoz képest. Ha mindvégig az egyik óra szemszögéből figyelünk, akkor egyáltalán me vagyok képes pusztán kvalitatíve belátni, hogy miként kerülhet ez a bizonyos elmaradó mutatójú óra végül ugyanabba az állásba, amikor ismét összefut a másikkal.....hiszen azt mondtuk, hogy lasabban jár, tehát egyre jobban elmarad......
A Spec. Rel-es saját példáim nem tértek ki a fordulásokra, mindössze egyenletes távolodást írtak le. OTt azt vettem észre, hogy azért lehetséges a a kölcsönösen lasabban telő idő, mert nem is ugyanazokat az eseményeket hasonlítjuk végül össze. Összefoglalva A<B' és B<A'......
Én elolvasom, sőt nagyon jól esne egy kimerítő számítás látványa.
Apropó..... lentebb közöltem, hogy szerintem a körbejáró vonatok órája nem fog ugyanannyit mutatni, amikor visszatérnek egymáshoz.
Az sem igaz a körbejáró vonatoknál, hogy nincs gravitációs mező, mivel a forduló vonatban ülő pont úgy magyarázhatja, hogy ő maga áll, hogy egy folyamatosan forduló gravitációs mezőt feltételez. Ezt pedig maga Einstein írja a kiskönyvében.
Húha..... akkor még a spec. relt. sem értem (pedig azt hittem).
Én azt mondanám, hogy két sinen körbejáró vonatnál az egyik vonat órája kevesebbet fog mutatni, mégpedig az, amelyik jelentősebb irányváltáson ment keresztül a visszatéréshez. Ez egyébként pontosan az eredeti Ikerparadoxon esete, amelynek a megoldása nem tagadja, sőt lényegi tényként kezeli, hogy az egyik órája a találkozáskor kevesebbet fog mutatni.
Belemehetünk, specrelben is jó el lehet magyarázni a lényeget. Bele akarsz mélyebben menni? Csak akkor írom le ha tényleg érdekel, nem csak a hasonlatok szintjén.
